Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho hai mặt phẳng $(P): x-y-6=0$ và $(Q)$. Biết rằng điểm $H(2 ;-1 ;-2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O(0 ; 0 ; 0)$ xuống mặt phẳng $(Q)$. Số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ bằng
A. $90^{\circ}$.
B. $45^{\circ}$.
C. $60^{\circ}$.
D. $30^{\circ}$.
A. $90^{\circ}$.
B. $45^{\circ}$.
C. $60^{\circ}$.
D. $30^{\circ}$.
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến $\vec{n}(1 ;-1 ; 0)$.
Vì $H(2 ;-1 ;-2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O(0 ; 0 ; 0)$ xuống mặt phẳng $(Q)$ nên $(Q)$ nhận $\overrightarrow{O H}(2 ;-1 ;-2)$ là vectơ pháp tuyến.
Ta có: $\cos ((P),(Q))=|\cos (\vec{n}, \overrightarrow{O H})|=\dfrac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{O H}|}{|\vec{n}| \cdot|\overrightarrow{O H}|}$
$=\dfrac{|1 \cdot 2+(-1) \cdot(-1)+0 \cdot(-2)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} \cdot \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}}=\dfrac{3}{3 \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Vậy góc giữa mặt phăng $(P)$ và mặt phăng $(Q)$ bằng $45^{\circ}$.
Vì $H(2 ;-1 ;-2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O(0 ; 0 ; 0)$ xuống mặt phẳng $(Q)$ nên $(Q)$ nhận $\overrightarrow{O H}(2 ;-1 ;-2)$ là vectơ pháp tuyến.
Ta có: $\cos ((P),(Q))=|\cos (\vec{n}, \overrightarrow{O H})|=\dfrac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{O H}|}{|\vec{n}| \cdot|\overrightarrow{O H}|}$
$=\dfrac{|1 \cdot 2+(-1) \cdot(-1)+0 \cdot(-2)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} \cdot \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}}=\dfrac{3}{3 \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Vậy góc giữa mặt phăng $(P)$ và mặt phăng $(Q)$ bằng $45^{\circ}$.
Đáp án B.