Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M(1 ; 1 ; 4)$ cắt các tia $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ phân biệt sao cho tứ diện $O A B C$ có thể tích nhỏ nhất. Tính thể tích nhỏ nhất đó?
A. 108.
B. 36.
C. 72.
D. 18.
A. 108.
B. 36.
C. 72.
D. 18.
Đặt $A=(a ; 0 ; 0), B=(0 ; b ; 0), C=(0 ; 0 ; c)$ với $a, b, c>0$.
Khi đó phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Vì ( $\alpha)$ đi qua $M(1 ; 1 ; 4)$ nên $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}=1$.
Thể tích của tứ diện $O A B C$ là $V_{O A B C}=\dfrac{1}{6} O A . O B . O C=\dfrac{1}{6} a b c$.
Áp dụng bất đẳng thức $\mathrm{AM}-\mathrm{GM}$ ta có $1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{4}{a b c}} \Rightarrow a b c \geq 108$.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=3 ; c=12$.
Vậy tứ diện $O A B C$ có thể tích nhỏ nhất bằng $\dfrac{1}{6} \cdot 108=18$.
Khi đó phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Vì ( $\alpha)$ đi qua $M(1 ; 1 ; 4)$ nên $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}=1$.
Thể tích của tứ diện $O A B C$ là $V_{O A B C}=\dfrac{1}{6} O A . O B . O C=\dfrac{1}{6} a b c$.
Áp dụng bất đẳng thức $\mathrm{AM}-\mathrm{GM}$ ta có $1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{4}{a b c}} \Rightarrow a b c \geq 108$.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=3 ; c=12$.
Vậy tứ diện $O A B C$ có thể tích nhỏ nhất bằng $\dfrac{1}{6} \cdot 108=18$.
Đáp án D.
