Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( -1;\ 2;\ 0 \right),\ B\left( 1;\ 1;\ 3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+3z-5=0.$ Phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm $A,\ B$, đồng thời vuông góc $\left( P \right)$ là $2x-ay-bz+c=0.$ Giá trị của biểu thức $a+2b-3c$ bằng
A. $-12$.
B. $-24$.
C. $-6$.
D. $-16$.
A. $-12$.
B. $-24$.
C. $-6$.
D. $-16$.
Gọi $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua hai điểm $A,\ B$, đồng thời vuông góc $\left( P \right)$. Khi đó, $\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}$ với $\overrightarrow{AB}\left( 2; -1; 3 \right)$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1; -2; 3 \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Suy ra, chọn $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 3; -3; -3 \right)$. Do đó, $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}\left( 1; -1; -1 \right)$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$. Mà mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( -1;\ 2;\ 0 \right)$ nên có phương trình là
$\left( x+1 \right)-\left( y-2 \right)-z=0$ $\Leftrightarrow x-y-z+3=0$ $\Leftrightarrow 2x-2y-2z+6=0$.
Suy ra $a=2, b=2, c=6$ nên $a+2b-3c=-12$.
Suy ra, chọn $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 3; -3; -3 \right)$. Do đó, $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}\left( 1; -1; -1 \right)$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$. Mà mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( -1;\ 2;\ 0 \right)$ nên có phương trình là
$\left( x+1 \right)-\left( y-2 \right)-z=0$ $\Leftrightarrow x-y-z+3=0$ $\Leftrightarrow 2x-2y-2z+6=0$.
Suy ra $a=2, b=2, c=6$ nên $a+2b-3c=-12$.
Đáp án A.
