Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $\left( S \right) : {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2$ và đường thẳng $\Delta : \left\{ \begin{matrix}
x=1 \\
y=1 \\
z=t \\
\end{matrix} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right) $. Có bao nhiêu điểm M nguyên thuộc $ \Delta $ mà từ điểm M đó ta vẽ ba tiếp tuyến bất kỳ tới (S) với A,B, C là ba tiếp điểm và thỏa mãn mặt phẳng (ABC) tạo với mặt phẳng Oxy một góc không nhỏ hơn $ {{30}^{0}}$?
(điểm M nguyên là điểm có các thành phần tọa độ đều là các số nguyên).$$
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
x=1 \\
y=1 \\
z=t \\
\end{matrix} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right) $. Có bao nhiêu điểm M nguyên thuộc $ \Delta $ mà từ điểm M đó ta vẽ ba tiếp tuyến bất kỳ tới (S) với A,B, C là ba tiếp điểm và thỏa mãn mặt phẳng (ABC) tạo với mặt phẳng Oxy một góc không nhỏ hơn $ {{30}^{0}}$?
(điểm M nguyên là điểm có các thành phần tọa độ đều là các số nguyên).$$
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
Mặt cầu có tâm $I(0,0,0) R=\sqrt{2}$, $M\in \Delta \Rightarrow M\left( 1,1,t \right)$.
Điều kiện $M$ nằm bên ngoài (S) là $IM>\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{2+{{t}^{2}}}>\sqrt{2}\Leftrightarrow t\ne 0$ (1)và $t\in \mathbb{Z}$
Ta gọi $A\left( {{x}_{A}},{{y}_{A}},{{z}_{A}} \right)$ là tiếp điểm.
Tiếp diện (P) chứa tiếp tuyến MA của $\left( S \right)$ tại A nhận $\overrightarrow{IA}=\left( {{x}_{A}}, {{y}_{A}},{{z}_{A}} \right)$ làm véc tơ pháp tuyến. Phương trình (P) là ${{x}_{A}}\left( x-{{x}_{A}} \right)+{{y}_{A}}\left( y-{{y}_{A}} \right)+{{z}_{A}}\left( z-{{z}_{A}} \right)=0$
$\Leftrightarrow {{x}_{A}}.x+{{y}_{A}}.y+{{z}_{A}}.z-x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-{{z}_{A}}^{2}=0$ $\Leftrightarrow {{x}_{A}}.x+{{y}_{A}}.y+{{z}_{A}}z=2$ ( Do A thuộc mặt cầu).
Mặt khác (P) đi qua $M\Rightarrow {{x}_{A}}+{{y}_{A}}+t.{{z}_{A}}=2$.
Điều ấy nói lên rằng điểm A thuộc mặt phẳng (ABC): $x+y+t.z-2=0$.
Các véc tơ pháp tuyến của Oxy và (ABC) lần lượt là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}(0,0,1) , \overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1,1,t)$.
Yêu cầu góc hai mặt đó không nhỏ hơn ${{30}^{0}}$ trở thành
$\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}\le \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| t \right|}{\sqrt{{{t}^{2}}+2}}\le \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow 2\left| t \right|\le \sqrt{3}\sqrt{{{t}^{2}}+2}\Leftrightarrow {{t}^{2}}\le 6$ $\Leftrightarrow \sqrt{6}\le t\le \sqrt{6}$.
Kết hợp với điều kiện $t\in \mathbb{Z}$ và $t\ne 0$ ta được $t\in \left\{ -2;-1;1;2 \right\}$.
Vậy có 4 điểm nguyên.
Nhận xét: mặt phẳng chứa các tiếp điểm kẻ từ M đến (S) luôn vuông góc với đường thẳng IM. Do đó mp(ABC) nhận $\overrightarrow{IM}=\left( 1;1;t \right)$ làm VTPT.
Điều kiện $M$ nằm bên ngoài (S) là $IM>\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{2+{{t}^{2}}}>\sqrt{2}\Leftrightarrow t\ne 0$ (1)và $t\in \mathbb{Z}$
Ta gọi $A\left( {{x}_{A}},{{y}_{A}},{{z}_{A}} \right)$ là tiếp điểm.
Tiếp diện (P) chứa tiếp tuyến MA của $\left( S \right)$ tại A nhận $\overrightarrow{IA}=\left( {{x}_{A}}, {{y}_{A}},{{z}_{A}} \right)$ làm véc tơ pháp tuyến. Phương trình (P) là ${{x}_{A}}\left( x-{{x}_{A}} \right)+{{y}_{A}}\left( y-{{y}_{A}} \right)+{{z}_{A}}\left( z-{{z}_{A}} \right)=0$
$\Leftrightarrow {{x}_{A}}.x+{{y}_{A}}.y+{{z}_{A}}.z-x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-{{z}_{A}}^{2}=0$ $\Leftrightarrow {{x}_{A}}.x+{{y}_{A}}.y+{{z}_{A}}z=2$ ( Do A thuộc mặt cầu).
Mặt khác (P) đi qua $M\Rightarrow {{x}_{A}}+{{y}_{A}}+t.{{z}_{A}}=2$.
Điều ấy nói lên rằng điểm A thuộc mặt phẳng (ABC): $x+y+t.z-2=0$.
Các véc tơ pháp tuyến của Oxy và (ABC) lần lượt là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}(0,0,1) , \overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1,1,t)$.
Yêu cầu góc hai mặt đó không nhỏ hơn ${{30}^{0}}$ trở thành
$\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}\le \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| t \right|}{\sqrt{{{t}^{2}}+2}}\le \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow 2\left| t \right|\le \sqrt{3}\sqrt{{{t}^{2}}+2}\Leftrightarrow {{t}^{2}}\le 6$ $\Leftrightarrow \sqrt{6}\le t\le \sqrt{6}$.
Kết hợp với điều kiện $t\in \mathbb{Z}$ và $t\ne 0$ ta được $t\in \left\{ -2;-1;1;2 \right\}$.
Vậy có 4 điểm nguyên.
Nhận xét: mặt phẳng chứa các tiếp điểm kẻ từ M đến (S) luôn vuông góc với đường thẳng IM. Do đó mp(ABC) nhận $\overrightarrow{IM}=\left( 1;1;t \right)$ làm VTPT.
Đáp án A.
