Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+2z+6=0;\left( Q \right):x-2y+z+2023=0$. Điểm $N$ di động trên $\left( S \right)$, điểm $M$ đi động trên $\left( P \right)$ sao cho $MN$ vuông góc với $\left( Q \right)$. Độ dài lớn nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng
A. $9\sqrt{6}$.
B. $20\sqrt{6}$.
C. $9+2\sqrt{3}$.
D. $11\sqrt{6}$.
A. $9\sqrt{6}$.
B. $20\sqrt{6}$.
C. $9+2\sqrt{3}$.
D. $11\sqrt{6}$.
$\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;2;1 \right)$ và bán kính $R=3$. Ta có: $\text{d}\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -1+2.2+2.1+6 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{11}{3}>R$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $N$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\alpha $ là góc giữa $MN$ và $NH$.
Vì $\overrightarrow{MN}\bot \left( Q \right)$ nên góc $\alpha $ có số đo không đổi, $\alpha =\widehat{HNM}$.
Có $HN=MN.\cos \alpha \Rightarrow MN=\dfrac{1}{\cos \alpha }.HN$ nên $MN$ lớn nhất $\Leftrightarrow $ $HN$ lớn nhất $\Leftrightarrow $ $HN=d\left( I,\left( P \right) \right)+R=\dfrac{20}{3}$.
Có $\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right) \right|=\dfrac{1}{3\sqrt{6}}$ nên $MN\le \dfrac{1}{\cos \alpha }HN=20\sqrt{6}$.
Vì $\overrightarrow{MN}\bot \left( Q \right)$ nên góc $\alpha $ có số đo không đổi, $\alpha =\widehat{HNM}$.
Có $HN=MN.\cos \alpha \Rightarrow MN=\dfrac{1}{\cos \alpha }.HN$ nên $MN$ lớn nhất $\Leftrightarrow $ $HN$ lớn nhất $\Leftrightarrow $ $HN=d\left( I,\left( P \right) \right)+R=\dfrac{20}{3}$.
Có $\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right) \right|=\dfrac{1}{3\sqrt{6}}$ nên $MN\le \dfrac{1}{\cos \alpha }HN=20\sqrt{6}$.
Đáp án B.