Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng $Oxyz$, cho hình chóp đều $S.ABC$ có toạ độ đỉnh $S(6;-2;3)$, thể tích $V=18$ và $AB=a(a<7)$. Đường thẳng $BC$ có phương trình $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{1}$. Gọi $(S)$ là mặt cầu tiếp xúc vs mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$ và tiếp xúc cạnh $SB$. Khi đó bán kính của mặt cầu $(S)$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $(3;4)$.
B. $(5;6)$.
C. $(2;3)$.
D. $(3;4)$.
- Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow SI={{d}_{\left( S,BC \right)}}=\sqrt{29}$
$SH=\sqrt{S{{I}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{3}AI}{3.2} \right)}^{2}}}=\sqrt{29-\dfrac{{{a}^{2}}}{12}}$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 18=\dfrac{1}{3}\sqrt{29-\dfrac{{{a}^{2}}}{12}}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \\
& \Rightarrow {{a}^{2}}=24 \\
& \Rightarrow a=2\sqrt{6} \\
& \Rightarrow \tan \left( \widehat{SBI} \right)=\sqrt{\dfrac{29}{6}}\Rightarrow \cos \left( \widehat{SBI} \right)=\sqrt{\dfrac{6}{35}} \\
\end{aligned}$
- Gọi $K$ là tâm mặt cầu cầ tìm, kẻ $KE\bot SB$
$\Rightarrow BE=BA=2\sqrt{6}$ (2 tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm)
$\Rightarrow A{{E}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{E}^{2}}-2AB.BE.\cos \left( \widehat{SBI} \right)$
$\Leftrightarrow A{{E}^{2}}=2.{{\left( 2\sqrt{6} \right)}^{2}}\left( 1-\sqrt{\dfrac{6}{35}} \right)$
- Hạ $KJ\bot (ABE)\Rightarrow $ tứ giác $ABEJ$ nội tiếp đường tròn đường kính $BJ\Rightarrow \Delta ABJ$ vuông tại $A$
Có $BJ=\dfrac{AE}{\sin (\widehat{SBI})}$
$\Rightarrow J{{A}^{2}}=J{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}$
- Mà $\widehat{(ABC),(SAB)}=\widehat{JKA}\Rightarrow \tan \widehat{JKA}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow \sin \widehat{JKA}=\dfrac{3\sqrt{87}}{29}$ (góc giữa 2 mp bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai đường thẳng đó)
$\Rightarrow R=KA=\dfrac{JA}{\sin \widehat{JKA}}=\dfrac{\sqrt{{{\left( \dfrac{AE}{\sin \widehat{SBI}} \right)}^{2}}-A{{B}^{2}}}}{\sin \widehat{JKA}}\approx 2,1$.
A. $(3;4)$.
B. $(5;6)$.
C. $(2;3)$.
D. $(3;4)$.
$SH=\sqrt{S{{I}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{3}AI}{3.2} \right)}^{2}}}=\sqrt{29-\dfrac{{{a}^{2}}}{12}}$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 18=\dfrac{1}{3}\sqrt{29-\dfrac{{{a}^{2}}}{12}}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \\
& \Rightarrow {{a}^{2}}=24 \\
& \Rightarrow a=2\sqrt{6} \\
& \Rightarrow \tan \left( \widehat{SBI} \right)=\sqrt{\dfrac{29}{6}}\Rightarrow \cos \left( \widehat{SBI} \right)=\sqrt{\dfrac{6}{35}} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow BE=BA=2\sqrt{6}$ (2 tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm)
$\Rightarrow A{{E}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{E}^{2}}-2AB.BE.\cos \left( \widehat{SBI} \right)$
$\Leftrightarrow A{{E}^{2}}=2.{{\left( 2\sqrt{6} \right)}^{2}}\left( 1-\sqrt{\dfrac{6}{35}} \right)$
- Hạ $KJ\bot (ABE)\Rightarrow $ tứ giác $ABEJ$ nội tiếp đường tròn đường kính $BJ\Rightarrow \Delta ABJ$ vuông tại $A$
Có $BJ=\dfrac{AE}{\sin (\widehat{SBI})}$
$\Rightarrow J{{A}^{2}}=J{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}$
- Mà $\widehat{(ABC),(SAB)}=\widehat{JKA}\Rightarrow \tan \widehat{JKA}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow \sin \widehat{JKA}=\dfrac{3\sqrt{87}}{29}$ (góc giữa 2 mp bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai đường thẳng đó)
$\Rightarrow R=KA=\dfrac{JA}{\sin \widehat{JKA}}=\dfrac{\sqrt{{{\left( \dfrac{AE}{\sin \widehat{SBI}} \right)}^{2}}-A{{B}^{2}}}}{\sin \widehat{JKA}}\approx 2,1$.
Đáp án C.