C biến thiên Giá trị $I$ phải thỏa mãn điều kiện?

thehiep đã viết:

Bài toán
Đặt điện áp xoay chiều có biểu thức $u=U_0\cos (\omega t) V$ vào hai đầu mạch $RLC$ với $U_0;R,L,\omega$ không thay đổi. Thay đổi $C$ thì ta nhận thấy với một giá trị của cường độ hiệu dụng $I$ chỉ tồn tại duy nhất một giá trị $C$ thỏa mãn. Giá trị $I$ đó phải thỏa mãn điều kiện:
A. $I<\dfrac{U}{\sqrt{R^2+Z_L^2}}$
B. $I\leqslant \dfrac{U}{\sqrt{R^2+Z_L^2}}$
C. $I\leqslant I_{max}$
D. $I\leqslant \dfrac{U}{R}$

Ẩn

Trích đề thi tháng 11 - 2012, Chuyên Bắc Giang

Click để xem thêm...

Giải
Khi $C$ thay đổi thì đáp án $C$ và $D$ giống hệt nhau, vì $I_{max}=\dfrac{U}{R}.$ Bây giờ quan tâm đến đáp án A và B. Hai đáp án này khác nhau ở mỗi dấu bằng. Như vậy ta thử xét $$I = \dfrac{U}{\sqrt{R^2+Z_L^2}}$$ xem sao? Khi đó $Z_C^2-2Z_L Z_C=0$ tương đương $Z_C=2Z_L.$ Điều này có nghĩa là với cường độ hiệu dụng $$I = \dfrac{U}{\sqrt{R^2+Z_L^2}}$$ thì vẫn tồn tại duy nhất một giá trị $C$ thỏa mãn. Vậy không thể thiếu mút bằng, và ta chọn B.
Đấy là 1 chút suy luận thôi, còn làm tử tế, trình bày tự luận thì phải thế này :
Ta có $$f\left( {{Z}_{C}} \right)=Z_{C}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+Z_{L}^{2}+{{R}^{2}}-{{\left( \dfrac{U}{I} \right)}^{2}}=0.$$ Để thỏa mãn yêu cầu bài toán, thì phương trình $f(Z_C)=0$ phải có đúng một nghiệm dương. Điều này tương đương với (Đặt $x=Z_C$ cho gọn): \[\left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}\le 0 <{{x}_{2}} \\
& 0 <{{x}_{1}}={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=0 <{{x}_{2}} \\
& {{x}_{1}}<0 <{{x}_{2}} \\
& 0 <{{x}_{1}}={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \\
& \left\{ \begin{aligned}
& f(0 )=0 \\
& -\dfrac{b}{2a}>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& af(0 )<0 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \Delta =0 \\
& f(0 )>0 \\
& -\dfrac{b}{2a}>0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\] Giải hệ này, ta tìm được $$\boxed{ I\leqslant \dfrac{U}{\sqrt{R^2+Z_L^2}} }$$