Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng nếu \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(ABC\) và tam giác \(A'B'C'\) thì
\(3\overrightarrow {G{G'}} = \overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} .\)
Từ đó hãy suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có trọng tâm trùng nhau.
\(3\overrightarrow {G{G'}} = \overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} .\)
Từ đó hãy suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có trọng tâm trùng nhau.
Phương pháp giải
Xen cả hai điểm G, G' vào các véc tơ \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \) để tính tổng.
Nhóm các véc tơ thích hợp, sử dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Lời giải chi tiết
G là trọng tâm tam giác ABC nên:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow - \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow 0
\end{array}\)
G' là trọng tâm tam giác A'B'C' nên:
\(\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \\
= \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} \\
+ \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} \\
+ \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'} \\
= \left({\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right)\\
+ \left({\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} } \right)\\
+ \left({\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + + \overrightarrow {G'C'} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + 3\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow 0 \\
= 3\overrightarrow {GG'} \\
\Rightarrow \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'}
\end{array}\)
Để hai tam giác có cùng trọng tâm thì \(G \equiv G' \Leftrightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0 \)
Cách khác:
Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} \cr
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'G'} \cr
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G'} \cr} \)
\(\Rightarrow 3\overrightarrow {GG'} = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}) \)\(+ (\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'}) \)\(+ (\overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'})\) (1)
\(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên:
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) (2)
\(G’\) là trọng tâm của tam giác \(A’B’C’\) nên:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} = \overrightarrow 0 (3)\cr} \)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'}. \)
Xen cả hai điểm G, G' vào các véc tơ \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \) để tính tổng.
Nhóm các véc tơ thích hợp, sử dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Lời giải chi tiết
G là trọng tâm tam giác ABC nên:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow - \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow 0
\end{array}\)
G' là trọng tâm tam giác A'B'C' nên:
\(\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \\
= \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} \\
+ \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} \\
+ \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'} \\
= \left({\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right)\\
+ \left({\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} } \right)\\
+ \left({\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + + \overrightarrow {G'C'} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + 3\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow 0 \\
= 3\overrightarrow {GG'} \\
\Rightarrow \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'}
\end{array}\)
Để hai tam giác có cùng trọng tâm thì \(G \equiv G' \Leftrightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0 \)
Cách khác:
Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} \cr
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'G'} \cr
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G'} \cr} \)
\(\Rightarrow 3\overrightarrow {GG'} = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}) \)\(+ (\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'}) \)\(+ (\overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'})\) (1)
\(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên:
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) (2)
\(G’\) là trọng tâm của tam giác \(A’B’C’\) nên:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} = \overrightarrow 0 (3)\cr} \)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'}. \)