Biên độ dao động tổng hợp

siêuđạochích đã viết:

Bài Toán
Một vật thực hiện n dao động điều hòa cùng phương với $x=\sum_{k=1}^{n}a\cos(Wt+k\dfrac{\pi }{6})cm$ .Để biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị cực đại thì phải có tối thiểu:
A. n=2
B. n=4
C. n=6
D. n=12

Click để xem thêm...

Ta có hình chiếu $A$ lên $Ox$ là:
$$A_x=a \sum^n_{k=1} \cos \left(k \dfrac{\pi}{6} \right)\\
=a \sum^n_{k=1} \Delta \left [ \left ( 1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \sin \left (\dfrac{k \pi}{6} \right )-\dfrac{1}{2} \cos \left ( \dfrac{k \pi}{6} \right )\right ]\\
=a \left ( \left ( 1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \sin \left (\dfrac{(n+1) \pi}{6} \right )-\dfrac{1}{2} \cos \left ( \dfrac{(n+1) \pi}{6} \right ) -\dfrac{1}{2}\right )$$
Ta có hình chiếu $A$ lên $Oy$ là:
$$A_x=a \sum^n_{k=1} \sin \left(k \dfrac{\pi}{6} \right)\\
=a \sum^n_{k=1} \Delta \left [ -\left ( 1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \cos \left (\dfrac{k \pi}{6} \right )-\dfrac{1}{2} \sin \left ( \dfrac{k \pi}{6} \right )\right ]\\
=a \left ( - \left ( 1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \cos \left (\dfrac{(n+1) \pi}{6} \right )-\dfrac{1}{2} \sin \left ( \dfrac{(n+1) \pi}{6} \right ) +1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )$$
Vậy:
$$A^2=A_x^2+A_y^2=a^2 \left ( 2+\sqrt{3} \right ) \left ( 2- \sin \left (\dfrac{(n+1) \pi}{6} \right )-\sqrt{3}\cos \left (\dfrac{(n+1) \pi}{6} \right ) \right )\\
=4 \left ( 2+\sqrt{3} \right ) a^2 \sin^2 \left (\dfrac{n \pi}{12} \right ) \leq 4 \left ( 2+\sqrt{3} \right ) a^2$$
Suy ra $$A_{\max}=2a\sqrt{ 2+\sqrt{3}} \Leftrightarrow \sin^2 \left (\dfrac{n \pi}{12} \right ) =1 \Leftrightarrow n=12k-6 \, \left ( k \in \mathbb{Z} \right )$$
Vậy đáp án là $n=6$
_________
Hơi dài ...

siêuđạochích đã viết:

Bài Toán
Một vật thực hiện n dao động điều hòa cùng phương với $x=\sum_{k=1}^{n}a\cos\left(Wt+k\dfrac{\pi }{6}\right)cm$ .Để biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị cực đại thì phải có tối thiểu:
A. n=2
B. n=4
C. n=6
D. n=12

Click để xem thêm...

Lấy đầu cộng cuối (chú ý $n$ là số chẵn)

$A=\sum a \cos\left(Wt+n\dfrac{\pi }{6}\right) =2a\cos \left(\omega t +\dfrac{\left(n+1\right)\pi }{12}\right) \sum \cos\left(\dfrac{\left(n-1\right)\pi }{12}\right)$
$A_{max}$ khi $k_2\pi <\dfrac{\left(n-1\right)\pi }{12} < \dfrac{\pi }{2}+k_2\pi $
Giá trị $n_{min}$ khi $k=0$ và khi đó $n <7$,$\left( n \in \mathbb{Z} \right)$
nên $n=6$.
Đáp án C

siêuđạochích đã viết:

Bài Toán
Một vật thực hiện n dao động điều hòa cùng phương với $x=\sum_{k=1}^{n}a\cos(Wt+k\dfrac{\pi }{6})cm$ .Để biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị cực đại thì phải có tối thiểu:
A. n=2
B. n=4
C. n=6
D. n=12

Click để xem thêm...

Để ý rằng khi $0<\varphi \leqslant \pi$ hay $n\leqslant 6$; khi tăng n giá trị từ 1 đến 6 thì khi n tăng; chúng ta tổng hợp dao động; sẽ được dao động tổng hợp có biên độ tăng; khi $n> 6$ sẽ xuất hiện các dao động ngược pha; nhưng cùng biên độ nên sẽ tự triệt tiêu cho nhau. Nên khi n= 6 => Amax