Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh rằng:

Câu a​

Nếu x2​ + y2​ = 1 thì \(|x + y| \le \sqrt 2 \)
Phương pháp giải:
Áp dụng bđt 2xy ≤ x2​ + y2​
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Ta có: \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\)
Khi đó: (x + y)2​ = x2​ + y2​ + 2xy
≤ x2​ + y2​ + x2 ​+ y2​ = 2
⇒ \(|x + y| \le \sqrt 2 \)
Dấu = xảy ra khi
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
{x^2} + {y^2} = 1
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
2{x^2} = 1
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow x = y = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức bu- nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số (1; 1) và (x, y) ta được:
\(\eqalign{
& {(x + y)^2} = {(x. 1 + y. 1)^2} \cr &\le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 \cr 
& \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr} \)

Câu b​

Nếu 4x – 3y = 15 thì x2​ + y2 ​ ≥ 9
Phương pháp giải:
Áp dụng bđt Bunhia:
\({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left({{a^2} + {b^2}} \right)\left({{x^2} + {y^2}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi-a – cốp- xki cho bộ hai số (4; -3) và (x; y) ta được:
\(\begin{array}{l}{\left( {4x - 3y} \right)^2} \le \left[ {{4^2} + {{\left({ - 3} \right)}^2}} \right]\left({{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {15^2} \le 25\left({{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 9 \le {x^2} + {y^2}\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 9\end{array}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{4} = \frac{y}{{ - 3}}\\
4x - 3y = 15
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{5}\\y =  - \frac{9}{5}\end{array} \right.\)
Cách khác:
Vì 4x – 3y = 15 \( \Rightarrow y = {4 \over 3}x - 5\)
Do đó:
\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 \over 3}x - 5)^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr 
& ={{25} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr &= {({5 \over 3}x - 4)^2} + 9 \ge 9 \cr} \)