Google
Câu hỏi: Cho cơ hệ như hình vẽ bên, xe có khối lượng $M=150 \mathrm{~kg}$ (bỏ qua khối lượng các bánh xe) chuyển động không ma sát trên mặt sàn nằm ngang, vật nặng khối lượng $m=50 \mathrm{~g}$ đặt trên xe, mặt trên của xe nằm ngang và có hệ số ma sát trượt so với vật $\mathrm{m}$ là $\mu=0,5$ (xem hệ số ma sát nghỉ cực đại của vật và xe cũng bằng $\mu$ ), xe được nối với bức tường cố định bằng một sợi dây cao su (xem như một lò xo khi nó dãn) có độ cứng $\mathrm{k}=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$. Ban đầu dây cao su bị chùng, truyền cho xe một vận tốc $\overrightarrow{v_0}$ có phương nằm ngang như hình vẽ và độ lớn vo $=50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
Biết khi dây cao su dài nhất thì vật $m$ vẫn chưa rời khỏi xe. Tốc độ trung bình của xe kể từ khi dây cao su bắt đầu bị căng đến khi dây cao su dài nhất lần đầu tiên gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. $27,4 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$
B. $28,6 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$
C. $29,8 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$
D. $28,2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$
A. $27,4 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$
B. $28,6 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$
C. $29,8 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$
D. $28,2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$
$\omega =\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}=\sqrt{\dfrac{50}{0,15+0,05}}=5\sqrt{10}$ (rad/s)
m trượt trên M khi ${{F}_{qt}}>{{F}_{ms}}\Rightarrow m.{{\omega }^{2}}x>\mu mg\Rightarrow x>\dfrac{\mu g}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{0,5.10}{{{\left( 5\sqrt{10} \right)}^{2}}}=0,02m=2cm$
GĐ1: M và m cùng dao động điều hòa từ vị trí lò xo không biến dạng đến $x=2cm$
Biên độ $A=\dfrac{{{v}_{0}}}{\omega }=\dfrac{50}{5\sqrt{10}}=\sqrt{10}$ (cm)
Tốc độ tại $x=2cm$ là $\left| v \right|=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=5\sqrt{10}.\sqrt{{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}-{{2}^{2}}}=10\sqrt{15}$ (cm/s)
GĐ2: m trượt trên M còn M dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng mới
$O'O=\dfrac{{{F}_{ms}}}{k}=\dfrac{\mu mg}{k}=\dfrac{0,5.0,05.10}{50}=0,005m=0,5cm\to x'=x-OO'=2-0,5=1,5$ (cm)
${{\omega }_{M}}=\sqrt{\dfrac{k}{M}}=\sqrt{\dfrac{50}{0,15}}=\dfrac{10\sqrt{30}}{3}$ và $A'=\sqrt{x{{'}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{{{\omega }_{M}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{1,{{5}^{2}}+{{\left( \dfrac{10\sqrt{15}}{\dfrac{10\sqrt{30}}{3}} \right)}^{2}}}=1,5\sqrt{3}$ (cm)
${{v}_{tb}}=\dfrac{2+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-1,5}{\dfrac{\arcsin \dfrac{2}{\sqrt{10}}}{5\sqrt{10}}+\dfrac{\arccos \dfrac{1,5}{1,5\sqrt{3}}}{\dfrac{10\sqrt{30}}{3}}}\approx 32,396$ (cm/s).
m trượt trên M khi ${{F}_{qt}}>{{F}_{ms}}\Rightarrow m.{{\omega }^{2}}x>\mu mg\Rightarrow x>\dfrac{\mu g}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{0,5.10}{{{\left( 5\sqrt{10} \right)}^{2}}}=0,02m=2cm$
GĐ1: M và m cùng dao động điều hòa từ vị trí lò xo không biến dạng đến $x=2cm$
Biên độ $A=\dfrac{{{v}_{0}}}{\omega }=\dfrac{50}{5\sqrt{10}}=\sqrt{10}$ (cm)
Tốc độ tại $x=2cm$ là $\left| v \right|=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=5\sqrt{10}.\sqrt{{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}-{{2}^{2}}}=10\sqrt{15}$ (cm/s)
GĐ2: m trượt trên M còn M dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng mới
$O'O=\dfrac{{{F}_{ms}}}{k}=\dfrac{\mu mg}{k}=\dfrac{0,5.0,05.10}{50}=0,005m=0,5cm\to x'=x-OO'=2-0,5=1,5$ (cm)
${{\omega }_{M}}=\sqrt{\dfrac{k}{M}}=\sqrt{\dfrac{50}{0,15}}=\dfrac{10\sqrt{30}}{3}$ và $A'=\sqrt{x{{'}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{{{\omega }_{M}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{1,{{5}^{2}}+{{\left( \dfrac{10\sqrt{15}}{\dfrac{10\sqrt{30}}{3}} \right)}^{2}}}=1,5\sqrt{3}$ (cm)
${{v}_{tb}}=\dfrac{2+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-1,5}{\dfrac{\arcsin \dfrac{2}{\sqrt{10}}}{5\sqrt{10}}+\dfrac{\arccos \dfrac{1,5}{1,5\sqrt{3}}}{\dfrac{10\sqrt{30}}{3}}}\approx 32,396$ (cm/s).
Đáp án C.
