Google
Câu hỏi: Cho hai hình nón có bán kính đáy bằng $3$ và chiều cao bằng $8$. Trục của hai hình nón vuông góc với nhau và cắt nhau tại một điểm cách đáy của mỗi hình nón một khoảng bằng $3$. Một hình cầu bán kính $r$ nằm bên trong cả hai hình nón. Biết giá trị lớn nhất của ${{r}^{2}}$ bằng $\dfrac{m}{n}$, với $m$ và $n$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Khi đó ${{m}^{2}}-{{n}^{2}}$ bằng:
A. $42965$.
B. $45296$.
C. $49025$.
D. $46295$.
Bán kính $r$ lớn nhất khi tâm hình cầu là giao điểm của hai trục và hình cầu tiếp xúc với mặt xung quanh của hai hình nón.
Khi đó vì hai tam giác $\Delta SOM$ và $\Delta SBH$ đồng dạng nên ta có: $\dfrac{OM}{BH}=\dfrac{SO}{SB}$
$\Leftrightarrow \dfrac{r}{3}=\dfrac{5}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{8}^{2}}}}\Rightarrow r=\dfrac{15}{\sqrt{73}}\Rightarrow {{r}^{2}}=\dfrac{225}{73}\Rightarrow m=223; n=73\Rightarrow {{m}^{2}}-{{n}^{2}}={{225}^{2}}-{{73}^{2}}=45296$.
Vậy ${{m}^{2}}-{{n}^{2}}={{225}^{2}}-{{73}^{2}}=45296$.
A. $42965$.
B. $45296$.
C. $49025$.
D. $46295$.
Khi đó vì hai tam giác $\Delta SOM$ và $\Delta SBH$ đồng dạng nên ta có: $\dfrac{OM}{BH}=\dfrac{SO}{SB}$
$\Leftrightarrow \dfrac{r}{3}=\dfrac{5}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{8}^{2}}}}\Rightarrow r=\dfrac{15}{\sqrt{73}}\Rightarrow {{r}^{2}}=\dfrac{225}{73}\Rightarrow m=223; n=73\Rightarrow {{m}^{2}}-{{n}^{2}}={{225}^{2}}-{{73}^{2}}=45296$.
Vậy ${{m}^{2}}-{{n}^{2}}={{225}^{2}}-{{73}^{2}}=45296$.
Đáp án B.
