Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A, A B=a, A C=a \sqrt{3} ; S A$ vuông góc với đáy, $S A=2 a$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng
A. $\dfrac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.
B. $\dfrac{a \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.
C. $\dfrac{a \sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.
D. $\dfrac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.
Ta có
$\left.\begin{array}{l}S A \perp(A B C) \\ B C \subset(A B C)\end{array}\right\} \Rightarrow S A \perp B C$.
Trong $(A B C)$, kẻ $A H \perp B C$, mà $B C \perp S A \Rightarrow B C \perp(S A H) \Rightarrow B C \perp S H$.
Trong $(S A H)$, kẻ $A K \perp S H$, mà $S H \perp B C \Rightarrow A K \perp(S B C)$ hay $d(A ;(S B C))=A K$.
Vì $\triangle A B C$ vuông tại $A$ nên $B C=\sqrt{A B^2+A C^2}=2 a$.
Mặt khác có $A H$ là đường cao nên $A H=\dfrac{A B \cdot A C}{B C}=\dfrac{\sqrt{3} a}{2}$.
Vì $\triangle S A H$ vuông tại $A$ nên $S H=\sqrt{S A^2+A H^2}=\dfrac{\sqrt{19} a}{2}$.
Vậy có $A K$ là đường cao $A K=\dfrac{S A \cdot A H}{S H}=\dfrac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.
A. $\dfrac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.
B. $\dfrac{a \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.
C. $\dfrac{a \sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.
D. $\dfrac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.
$\left.\begin{array}{l}S A \perp(A B C) \\ B C \subset(A B C)\end{array}\right\} \Rightarrow S A \perp B C$.
Trong $(A B C)$, kẻ $A H \perp B C$, mà $B C \perp S A \Rightarrow B C \perp(S A H) \Rightarrow B C \perp S H$.
Trong $(S A H)$, kẻ $A K \perp S H$, mà $S H \perp B C \Rightarrow A K \perp(S B C)$ hay $d(A ;(S B C))=A K$.
Vì $\triangle A B C$ vuông tại $A$ nên $B C=\sqrt{A B^2+A C^2}=2 a$.
Mặt khác có $A H$ là đường cao nên $A H=\dfrac{A B \cdot A C}{B C}=\dfrac{\sqrt{3} a}{2}$.
Vì $\triangle S A H$ vuông tại $A$ nên $S H=\sqrt{S A^2+A H^2}=\dfrac{\sqrt{19} a}{2}$.
Vậy có $A K$ là đường cao $A K=\dfrac{S A \cdot A H}{S H}=\dfrac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.
Đáp án A.