Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân tại $A, A B=2 a, S A$ vuông góc mặt đáy và góc giữa $S B$ với mặt đáy bằng $60^{\circ}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(A B C)$. Giá trị $\cos \alpha$ bằng
A. $\dfrac{2}{5}$.
B. $\dfrac{2}{\sqrt{7}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
D. $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$.
Do $S A \perp(A B C)$ nên theo giả thiết $\widehat{S B A}=60^{\circ}$.
Suy ra: $S A=A B \cdot \tan \widehat{S B A}=2 a \cdot \sqrt{3}=2 \sqrt{3} a$.
Gọi $I$ là trung điểm $B C, A I$ là trung tuyến tam giác vuông cân nên: $A I=\dfrac{A B}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} a$.
Do $\triangle A B C$ vuông cân nên $A I \perp B C$ và $S A \perp B C$ nên $B C \perp(S A I) \Rightarrow B C \perp S I$.
Vậy $\alpha=((S B C),(A B C))=(\widehat{S I, A I})=\widehat{S I A}$.
Do đó $\cos \alpha=\cos \widehat{S I A}=\dfrac{A I}{S I}=\dfrac{A I}{\sqrt{S A^2+A I^2}}=\dfrac{\sqrt{2} a}{\sqrt{12 a^2+2 a^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{7}}$.
A. $\dfrac{2}{5}$.
B. $\dfrac{2}{\sqrt{7}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
D. $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$.
Suy ra: $S A=A B \cdot \tan \widehat{S B A}=2 a \cdot \sqrt{3}=2 \sqrt{3} a$.
Gọi $I$ là trung điểm $B C, A I$ là trung tuyến tam giác vuông cân nên: $A I=\dfrac{A B}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} a$.
Do $\triangle A B C$ vuông cân nên $A I \perp B C$ và $S A \perp B C$ nên $B C \perp(S A I) \Rightarrow B C \perp S I$.
Vậy $\alpha=((S B C),(A B C))=(\widehat{S I, A I})=\widehat{S I A}$.
Do đó $\cos \alpha=\cos \widehat{S I A}=\dfrac{A I}{S I}=\dfrac{A I}{\sqrt{S A^2+A I^2}}=\dfrac{\sqrt{2} a}{\sqrt{12 a^2+2 a^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{7}}$.
Đáp án D.