Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S$. $A B C$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B, A B=a$. Cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A B C)$ và $(S B C)$ bằng $60^{\circ}$ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B$ và $S C$ bằng
A. $\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
C. $a$.
D. $\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
C. $a$.
D. $\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}B C \perp A B \\ B C \perp S A\end{array} \Rightarrow B C \perp(S A B)\right.$.
Góc giữa hai mặt phẳng $(A B C)$ và $(S B C)$ là góc $\widehat{S B A}=60^{\circ}$. Do đó $S A=a \cdot \tan 60^{\circ}=a \sqrt{3}$.
Dựng $D$ sao cho $A B C D$ là hình vuông. Dựng $A E \perp S D$ tại $\mathrm{E}$.
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}C D \perp A D \\ C D \perp S A\end{array} \Rightarrow C D \perp(S A D) \Rightarrow C D \perp A E\right.$.
Mà $A E \perp S D$ suy ra $A E \perp(S C D)$.
Ta có $d(A B ; S C)=d(A B ;(S C D))=d(A ;(S C D))=A E$.
Mà $A E=\dfrac{A S \cdot A D}{S D}=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$. Vậy $d(A B ; S C)=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Góc giữa hai mặt phẳng $(A B C)$ và $(S B C)$ là góc $\widehat{S B A}=60^{\circ}$. Do đó $S A=a \cdot \tan 60^{\circ}=a \sqrt{3}$.
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}C D \perp A D \\ C D \perp S A\end{array} \Rightarrow C D \perp(S A D) \Rightarrow C D \perp A E\right.$.
Mà $A E \perp S D$ suy ra $A E \perp(S C D)$.
Ta có $d(A B ; S C)=d(A B ;(S C D))=d(A ;(S C D))=A E$.
Mà $A E=\dfrac{A S \cdot A D}{S D}=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$. Vậy $d(A B ; S C)=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Đáp án B.