Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ có đường cao $SO=h$ và bán kính đáy bằng $R$, gọi $M$ là điểm trên đoạn $SO$, đặt $OM=x$ $\left( 0<x<h \right)$. Gọi $\left( C \right)$ là thiết diện của hình nón $\left( N \right)$ cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với trục $SO$ tại $M$. Tìm $x$ để thể tích khối nón đỉnh $O$ đáy là $\left( C \right)$ lớn nhất.
A. $\dfrac{h\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{h}{2}$.
C. $\dfrac{h}{3}$.
D. $\dfrac{h\sqrt{2}}{2}$.
Ta có tam giác $SM{A}'$ đồng dạng với tam giác $SOA$ nên $\dfrac{{A}'M}{AO}=\dfrac{SM}{SO}=\dfrac{SO-MO}{SO}=1-\dfrac{x}{h}$.
Gọi $V$ là thể tích khối nón đỉnh $O$ đáy là $\left( C \right)$, khi đó:
$V=\dfrac{1}{3}MO\pi {A}'{{M}^{2}}=\dfrac{1}{3}x\pi {{R}^{2}}{{\left( 1-\dfrac{x}{h} \right)}^{2}}=\dfrac{h\pi {{R}^{2}}}{6}\dfrac{2x}{h}\left( 1-\dfrac{x}{h} \right)\left( 1-\dfrac{x}{h} \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Am – gm:
$V=\dfrac{h\pi {{R}^{2}}}{6}\dfrac{2x}{h}\left( 1-\dfrac{x}{h} \right)\left( 1-\dfrac{x}{h} \right)\le \dfrac{h\pi {{R}^{2}}}{6}{{\left( \dfrac{\dfrac{2x}{h}+1-\dfrac{x}{h}+1-\dfrac{x}{h}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4h\pi {{R}^{2}}}{81}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{2x}{h}=1-\dfrac{x}{h}\Leftrightarrow x=\dfrac{h}{3}$.
A. $\dfrac{h\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{h}{2}$.
C. $\dfrac{h}{3}$.
D. $\dfrac{h\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $V$ là thể tích khối nón đỉnh $O$ đáy là $\left( C \right)$, khi đó:
$V=\dfrac{1}{3}MO\pi {A}'{{M}^{2}}=\dfrac{1}{3}x\pi {{R}^{2}}{{\left( 1-\dfrac{x}{h} \right)}^{2}}=\dfrac{h\pi {{R}^{2}}}{6}\dfrac{2x}{h}\left( 1-\dfrac{x}{h} \right)\left( 1-\dfrac{x}{h} \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Am – gm:
$V=\dfrac{h\pi {{R}^{2}}}{6}\dfrac{2x}{h}\left( 1-\dfrac{x}{h} \right)\left( 1-\dfrac{x}{h} \right)\le \dfrac{h\pi {{R}^{2}}}{6}{{\left( \dfrac{\dfrac{2x}{h}+1-\dfrac{x}{h}+1-\dfrac{x}{h}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4h\pi {{R}^{2}}}{81}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{2x}{h}=1-\dfrac{x}{h}\Leftrightarrow x=\dfrac{h}{3}$.
Đáp án C.
