Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn tâm $O$ và ${O}'$, chiều cao $h=a\sqrt{3}$. Mặt phẳng đi qua tâm $O$ và tạo với $O{O}'$ một góc $30{}^\circ $, cắt hai đường tròn tâm $O$ và ${O}'$ tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ và diện tích bằng $3{{a}^{2}}$. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Ta có góc giữa mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $O{O}'$ là góc $\widehat{HO{O}'}=30{}^\circ $, $O{O}'=a\sqrt{3}$.
$\cos \widehat{HO{O}'}=\dfrac{O{O}'}{OH}\Rightarrow OH=\dfrac{O{O}'}{\cos 30{}^\circ }=\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2a$
Ta có $CD=2r\Rightarrow AB=r$
Theo giả thiết diện tích hình thang $ABCD$ bằng $3{{a}^{2}}$ nên ta có
$\left( AB+CD \right)\dfrac{OH}{2}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow 3r.\dfrac{2a}{2}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow r=a$
Vậy thể tích khối trụ bằng $V=\pi {{a}^{2}}.a\sqrt{3}=\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}$.
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
$\cos \widehat{HO{O}'}=\dfrac{O{O}'}{OH}\Rightarrow OH=\dfrac{O{O}'}{\cos 30{}^\circ }=\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2a$
Ta có $CD=2r\Rightarrow AB=r$
Theo giả thiết diện tích hình thang $ABCD$ bằng $3{{a}^{2}}$ nên ta có
$\left( AB+CD \right)\dfrac{OH}{2}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow 3r.\dfrac{2a}{2}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow r=a$
Vậy thể tích khối trụ bằng $V=\pi {{a}^{2}}.a\sqrt{3}=\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Đáp án B.
