Google
Câu hỏi: Cho Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm $O$, ${O}'$ và có bán kính $r=\sqrt{15}$. Khoảng cách giữa hai đáy là $O{O}'=6$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn $O{O}'$ và tạo với đường thẳng $O{O}'$ một góc $30{}^\circ $. Diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và hình trụ gần bằng với số nào sau đây.
A. $62$.
B. $60$
C. $52$.
D. $48$.
Ta có: $\left( OO'\left( \alpha \right) \right)=\left( OO',HK \right)=\widehat{HIK}={{30}^{0}}$.
$\Rightarrow OH=\tan {{30}^{0}}.OI=\sqrt{3}<r$, $IH=\dfrac{OI}{\cos {{30}^{0}}}=2\sqrt{3},AH=\sqrt{12}$.
$\Rightarrow $ Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và hình trụ là $ABCD$ có dạng là một phần của elip.
Xét tam giác $OAB$ : $\cos \varphi =\cos \widehat{AOB}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2OA. OB}=-\dfrac{3}{5}$.
Diện tích hình quạt $OAB$ : ${{S}_{q}}=\dfrac{\varphi {{r}^{2}}}{2}=\dfrac{15\varphi }{2}$ với $\cos \varphi =-\dfrac{3}{5}$.
Diện tích tam giác $OAB$ : ${{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}OH.AB=6$.
$\Rightarrow $ diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung $AB$ và đường thẳng $AB$ : ${{S}_{1}}={{S}_{q}}-{{S}_{OAB}}=\dfrac{15\varphi }{2}-6$.
$\Rightarrow $ diện tích hình cong $ABEF$ : $S={{S}_{dtr}}-2{{S}_{1}}=15\pi -2\left( \dfrac{15\varphi }{2}-6 \right)=15\pi -15\varphi +12$.
Diện tích của thiết diện: $S'=\dfrac{S}{\cos {{60}^{0}}}\approx 51,82$.
A. $62$.
B. $60$
C. $52$.
D. $48$.
$\Rightarrow OH=\tan {{30}^{0}}.OI=\sqrt{3}<r$, $IH=\dfrac{OI}{\cos {{30}^{0}}}=2\sqrt{3},AH=\sqrt{12}$.
$\Rightarrow $ Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và hình trụ là $ABCD$ có dạng là một phần của elip.
Xét tam giác $OAB$ : $\cos \varphi =\cos \widehat{AOB}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2OA. OB}=-\dfrac{3}{5}$.
Diện tích hình quạt $OAB$ : ${{S}_{q}}=\dfrac{\varphi {{r}^{2}}}{2}=\dfrac{15\varphi }{2}$ với $\cos \varphi =-\dfrac{3}{5}$.
Diện tích tam giác $OAB$ : ${{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}OH.AB=6$.
$\Rightarrow $ diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung $AB$ và đường thẳng $AB$ : ${{S}_{1}}={{S}_{q}}-{{S}_{OAB}}=\dfrac{15\varphi }{2}-6$.
$\Rightarrow $ diện tích hình cong $ABEF$ : $S={{S}_{dtr}}-2{{S}_{1}}=15\pi -2\left( \dfrac{15\varphi }{2}-6 \right)=15\pi -15\varphi +12$.
Diện tích của thiết diện: $S'=\dfrac{S}{\cos {{60}^{0}}}\approx 51,82$.
Đáp án C.
