Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có tâm hai đường tròn đáy lần lượt là $O$ và $O'$, bán kính đáy hình trụ bằng $a$. Trên đường tròn đáy $\left( O \right)$ và $\left( O' \right)$ lần lượt lấy hai điểm $A,B$ sao cho $AB$ tạo với trục của hình trụ một góc ${{30}^{0}}$ và có khoảng cách đến trục của hình trụ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính thể tíc khối chóp $O.O'AB$
A. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
Kẻ đường sinh $AC$ của hình trụ $\Rightarrow AC\parallel OO'\Rightarrow \left( AB,OO' \right)=\left( AB,AC \right)=\widehat{BAC}={{30}^{0}}$.
$OO'\parallel AC\subset \left( ABC \right)\Rightarrow OO'\parallel \left( ABC \right)\Rightarrow d\left( OO',AB \right)=d\left( OO',\left( ABC \right) \right)=d\left( O,\left( ABC \right) \right)$.
Kẻ $OH\bot BC\Rightarrow OH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow d\left( O,\left( ABC \right) \right)=OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$BH=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow BC=2BH=a$.
$\widehat{BAC}={{30}^{0}}\Rightarrow AC=\dfrac{BC}{\tan {{30}^{0}}}=\sqrt{3}a$.
$\Rightarrow {{V}_{O'.OAB}}={{V}_{O'.OBC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{OBC}}.OO'=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}OH.BC.OO'=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
A. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
$OO'\parallel AC\subset \left( ABC \right)\Rightarrow OO'\parallel \left( ABC \right)\Rightarrow d\left( OO',AB \right)=d\left( OO',\left( ABC \right) \right)=d\left( O,\left( ABC \right) \right)$.
Kẻ $OH\bot BC\Rightarrow OH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow d\left( O,\left( ABC \right) \right)=OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$BH=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow BC=2BH=a$.
$\widehat{BAC}={{30}^{0}}\Rightarrow AC=\dfrac{BC}{\tan {{30}^{0}}}=\sqrt{3}a$.
$\Rightarrow {{V}_{O'.OAB}}={{V}_{O'.OBC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{OBC}}.OO'=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}OH.BC.OO'=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án B.