Google
Câu hỏi: Cho khối nón đỉnh $S$, tâm mặt đáy $O$ và có thể tích bằng $12\pi {{a}^{3}}$. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho $AB=2a$ và góc $\widehat{AOB}=60{}^\circ $. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng
A. $\dfrac{9\sqrt{7}}{14}a$.
B. $\dfrac{18\sqrt{85}}{85}a$.
C. $\dfrac{3\sqrt{7}}{14}a$.
D. $\dfrac{6\sqrt{85}}{85}a$.
Vì tam giác $OAB$ đều nên bán kính đường tròn đáy $r=AB=2a$.
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=12\pi {{a}^{3}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\pi {{\left( 2a \right)}^{2}}h=12{{a}^{3}}\pi \Leftrightarrow h=9a$.
Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Khi đó $AB\bot \left( SOM \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $SM$. Suy ra $OH\bot \left( SAB \right)$ hay $d\left( O , \left( SAB \right) \right)=OH$.
Ta có $OM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2a.\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Suy ra $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 9a \right)}^{2}}}\Leftrightarrow OH=\dfrac{9\sqrt{7}}{14}a$.
A. $\dfrac{9\sqrt{7}}{14}a$.
B. $\dfrac{18\sqrt{85}}{85}a$.
C. $\dfrac{3\sqrt{7}}{14}a$.
D. $\dfrac{6\sqrt{85}}{85}a$.
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=12\pi {{a}^{3}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\pi {{\left( 2a \right)}^{2}}h=12{{a}^{3}}\pi \Leftrightarrow h=9a$.
Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Khi đó $AB\bot \left( SOM \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $SM$. Suy ra $OH\bot \left( SAB \right)$ hay $d\left( O , \left( SAB \right) \right)=OH$.
Ta có $OM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2a.\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Suy ra $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 9a \right)}^{2}}}\Leftrightarrow OH=\dfrac{9\sqrt{7}}{14}a$.
Đáp án A.
