Google
Câu hỏi: Cho khối nón xoay đỉnh $S$ có thể tích bằng $96\pi $. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có cạnh bằng $10$. Khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có thể bằng kết quả nào dưới đây?
A. $8$.
B. $\dfrac{8\sqrt{33}}{15}$.
C. $\dfrac{6\sqrt{13}}{5}$.
D. $\dfrac{5}{24}$.
Gọi thiết diện mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt hình nón là tam giác $SAB$. Do đó, $\Delta SAB$ đều có cạnh $AB=10$.
Gọi $O,R,h$ lần lượt là tâm, bán kính của đường tròn đáy và chiều cao của khối nón, $I$, $H$ lần lượt là hình chiếu của $O$ lên $AB$, $SI$. Khi đó khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng $OH$.
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.h=96\pi \Rightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{3V}{\pi .h}=\dfrac{3.96\pi }{\pi .h}=\dfrac{288}{h}$
Xét tam giác vuông $SOA$ có: $S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}=S{{A}^{2}}\Leftrightarrow {{h}^{2}}+{{R}^{2}}=100\Leftrightarrow {{h}^{2}}+\dfrac{288}{h}=100$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{h}^{3}}-100h+288=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=8 \\
& h=-2.(2+\sqrt{13})<0(L) \\
& h=2.(\sqrt{13}-2) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=8 \\
& h=2.(\sqrt{13}-2) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( h;R \right)=\left( 8;6 \right) \\
& \left( h;R \right)=\left( 2.(\sqrt{13}-2);4\sqrt{2+\sqrt{13}} \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
TH1: $\left( h;R \right)=\left( 8;6 \right)$
Xét tam giác vuông $OIA$ có: $I{{O}^{2}}=O{{A}^{2}}-I{{A}^{2}}={{6}^{2}}-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}={{6}^{2}}-{{\left( \dfrac{10}{2} \right)}^{2}}=11$
Trong tam giác vuông $SIO$ có: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{8}^{2}}}+\dfrac{1}{11}=\dfrac{75}{704}\Rightarrow OH=\dfrac{8\sqrt{33}}{15}$.
TH2: $\left( h;R \right)=\left( 2.(\sqrt{13}-2);4\sqrt{2+\sqrt{13}} \right)$
Xét tam giác vuông $OIA$ có:
$I{{O}^{2}}=O{{A}^{2}}-I{{A}^{2}}=16.\left( 2+\sqrt{13} \right)-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}=16.\left( 2+\sqrt{13} \right)-{{\left( \dfrac{10}{2} \right)}^{2}}=7+16\sqrt{3}$
Trong tam giác vuông $SIO$ có:
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2.(\sqrt{13}-2) \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{7+16\sqrt{3}}\Rightarrow OH=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{68+8\sqrt{13}}+\dfrac{1}{7+16\sqrt{3}}}}$.
A. $8$.
B. $\dfrac{8\sqrt{33}}{15}$.
C. $\dfrac{6\sqrt{13}}{5}$.
D. $\dfrac{5}{24}$.
Gọi $O,R,h$ lần lượt là tâm, bán kính của đường tròn đáy và chiều cao của khối nón, $I$, $H$ lần lượt là hình chiếu của $O$ lên $AB$, $SI$. Khi đó khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng $OH$.
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.h=96\pi \Rightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{3V}{\pi .h}=\dfrac{3.96\pi }{\pi .h}=\dfrac{288}{h}$
Xét tam giác vuông $SOA$ có: $S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}=S{{A}^{2}}\Leftrightarrow {{h}^{2}}+{{R}^{2}}=100\Leftrightarrow {{h}^{2}}+\dfrac{288}{h}=100$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{h}^{3}}-100h+288=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=8 \\
& h=-2.(2+\sqrt{13})<0(L) \\
& h=2.(\sqrt{13}-2) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=8 \\
& h=2.(\sqrt{13}-2) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( h;R \right)=\left( 8;6 \right) \\
& \left( h;R \right)=\left( 2.(\sqrt{13}-2);4\sqrt{2+\sqrt{13}} \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
TH1: $\left( h;R \right)=\left( 8;6 \right)$
Xét tam giác vuông $OIA$ có: $I{{O}^{2}}=O{{A}^{2}}-I{{A}^{2}}={{6}^{2}}-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}={{6}^{2}}-{{\left( \dfrac{10}{2} \right)}^{2}}=11$
Trong tam giác vuông $SIO$ có: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{8}^{2}}}+\dfrac{1}{11}=\dfrac{75}{704}\Rightarrow OH=\dfrac{8\sqrt{33}}{15}$.
TH2: $\left( h;R \right)=\left( 2.(\sqrt{13}-2);4\sqrt{2+\sqrt{13}} \right)$
Xét tam giác vuông $OIA$ có:
$I{{O}^{2}}=O{{A}^{2}}-I{{A}^{2}}=16.\left( 2+\sqrt{13} \right)-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}=16.\left( 2+\sqrt{13} \right)-{{\left( \dfrac{10}{2} \right)}^{2}}=7+16\sqrt{3}$
Trong tam giác vuông $SIO$ có:
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2.(\sqrt{13}-2) \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{7+16\sqrt{3}}\Rightarrow OH=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{68+8\sqrt{13}}+\dfrac{1}{7+16\sqrt{3}}}}$.
Đáp án B.
