Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ vuông cân tại $B$, $AC=a\sqrt{2}, A{A}'=a$. Gọi góc giữa mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\alpha $.
Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $\alpha =60{}^\circ $.
B. $\alpha =45{}^\circ $.
C. $\alpha =30{}^\circ $.
D. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right\} $ $ \Rightarrow BC\bot \left( AB{B}'{A}' \right) $ $ \Rightarrow BC\bot {A}'B$.
Khi đó $\left( {A}'BC \right)\cap \left( ABC \right)=BC$
Trong $\left( {A}'BC \right)\supset {A}'B\bot BC$ tại $B$ ;
Trong $\left( ABC \right)\supset AB\bot BC$ tại $B$ ;
Suy ra $\left[ \widehat{\left( {A}'BC \right),\left( ABC \right)} \right]=\left( \widehat{{A}'B,AB} \right)=\widehat{{A}'BA}$.
Mà $\Delta ABC$ vuông cân tại $B$, $AC=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow AB=BC=a$.
Nên $\tan \widehat{{A}'BA}=\dfrac{A{A}'}{AB}=1$ $\Rightarrow \alpha =45{}^\circ $.
A. $\alpha =60{}^\circ $.
B. $\alpha =45{}^\circ $.
C. $\alpha =30{}^\circ $.
D. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
& BC\bot AB \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right\} $ $ \Rightarrow BC\bot \left( AB{B}'{A}' \right) $ $ \Rightarrow BC\bot {A}'B$.
Khi đó $\left( {A}'BC \right)\cap \left( ABC \right)=BC$
Trong $\left( {A}'BC \right)\supset {A}'B\bot BC$ tại $B$ ;
Trong $\left( ABC \right)\supset AB\bot BC$ tại $B$ ;
Suy ra $\left[ \widehat{\left( {A}'BC \right),\left( ABC \right)} \right]=\left( \widehat{{A}'B,AB} \right)=\widehat{{A}'BA}$.
Mà $\Delta ABC$ vuông cân tại $B$, $AC=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow AB=BC=a$.
Nên $\tan \widehat{{A}'BA}=\dfrac{A{A}'}{AB}=1$ $\Rightarrow \alpha =45{}^\circ $.
Đáp án B.