Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ vuông cân tại $A$ và $AB=AC=a$ . Biết diện tích tam giác ${A}'BC$ bằng $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ . Thể tích của khổi lăng trụ đã cho bằng
A. $V=2{{a}^{3}}$.
B. $V={{a}^{3}}$.
C. $V=3{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của canh $BC$
$BC=a\sqrt{2}; AM=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Ta có: $\Delta {A}'AB=\Delta {A}'AC (c.g.c)\Rightarrow {A}'B={A}'C$ $\Rightarrow \Delta {A}'BC$ cân tại ${A}'$ $\Rightarrow {A}'M\bot BC$
Do đó ${{S}_{\Delta {A}'AC}}=\dfrac{1}{2}{A}'M.BC\Rightarrow \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{2}{A}'M.a\sqrt{2}\Rightarrow {A}'M=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Tam giác $\Delta {A}'AM$ vuông tại $A$ nên ${A}'A=\sqrt{{A}'{{M}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=a$
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}= A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$ .
A. $V=2{{a}^{3}}$.
B. $V={{a}^{3}}$.
C. $V=3{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
$BC=a\sqrt{2}; AM=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Ta có: $\Delta {A}'AB=\Delta {A}'AC (c.g.c)\Rightarrow {A}'B={A}'C$ $\Rightarrow \Delta {A}'BC$ cân tại ${A}'$ $\Rightarrow {A}'M\bot BC$
Do đó ${{S}_{\Delta {A}'AC}}=\dfrac{1}{2}{A}'M.BC\Rightarrow \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{2}{A}'M.a\sqrt{2}\Rightarrow {A}'M=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Tam giác $\Delta {A}'AM$ vuông tại $A$ nên ${A}'A=\sqrt{{A}'{{M}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=a$
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}= A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$ .
Đáp án D.
