Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA=OB=1.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $OM$ và $AC$ bằng $\dfrac{2}{3}.$ Thể tích của khối tứ diện $OABC$ bằng
A. $\dfrac{1}{3}.$
B. $\dfrac{1}{6}.$
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{2}{3}.$
Kẻ $Am//OM,OH\bot Am\left( H\in Am \right),OK\bot CH\left( K\in CH \right)$ nên $d\left( OM,AC \right)=d\left( OM,\left( CAH \right) \right)$
Ta có: $OC\bot \left( OAB \right)\Rightarrow OC\bot AH,OH\bot AH\Rightarrow AH\bot \left( OCH \right)\Rightarrow AH\bot OK$
Mà $d\left( OM,AC \right)=d\left( OM,\left( CAH \right) \right)=d\left( O,\left( CAH \right) \right)=OK=\dfrac{2}{3}.$
Vì tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên $OM\bot AB,OM=AM=\dfrac{AB}{2}$.
Vì $OH\bot Am\Rightarrow OH\bot OM$ và $OM\bot AB,AH//OM\Rightarrow AH\bot AM$
Nên $OHAM$ là hình vuông ( hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau)
Khi đó: $OH=AM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Do: $\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}\Rightarrow OC=2\Rightarrow {{V}_{O.ABC}}=\dfrac{1}{6}.OA.OB.OC=\dfrac{1}{3}$
A. $\dfrac{1}{3}.$
B. $\dfrac{1}{6}.$
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{2}{3}.$
Ta có: $OC\bot \left( OAB \right)\Rightarrow OC\bot AH,OH\bot AH\Rightarrow AH\bot \left( OCH \right)\Rightarrow AH\bot OK$
Mà $d\left( OM,AC \right)=d\left( OM,\left( CAH \right) \right)=d\left( O,\left( CAH \right) \right)=OK=\dfrac{2}{3}.$
Vì tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên $OM\bot AB,OM=AM=\dfrac{AB}{2}$.
Vì $OH\bot Am\Rightarrow OH\bot OM$ và $OM\bot AB,AH//OM\Rightarrow AH\bot AM$
Nên $OHAM$ là hình vuông ( hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau)
Khi đó: $OH=AM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Do: $\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}\Rightarrow OC=2\Rightarrow {{V}_{O.ABC}}=\dfrac{1}{6}.OA.OB.OC=\dfrac{1}{3}$
Đáp án A.
