Có bao nhiêu cặp số nguyên ${\left( x;y \right)}$ thỏa mãn $0\le...

Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& y\ne 0 \\
& \dfrac{{{2}^{x}}-1}{y}>0 \\
& y\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{2}^{x}}>1\Leftrightarrow x>0$
Ta có: PT $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)+{{2}^{x}}-1={{\log }_{3}}y+y(*)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$
Khi đó ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0$ do đó hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
có dạng $f\left( {{2}^{x}}-1 \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow y={{2}^{x}}-1$
Vì $0\le y\le 2020\Leftrightarrow 0\le {{2}^{x}}-1\le 2020\Leftrightarrow 1\le {{2}^{x}}\le 2021\Leftrightarrow 0\le x\le {{\log }_{2}}\left( 2021 \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& 0\le x\le {{\log }_{2}}\left( 2021 \right) \\
& x\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right\} $. Vậy có $ 11 $ cặp $ \left( x;y \right)$ thỏa mãn.