Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x; y \right)$ với $0\le x\le 2023$ và $1\le y\le 2023$, thỏa mãn
${{4}^{x+1}}+{{\log }_{2}}\left( y+3 \right)={{2}^{y+4}}+{{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)$
A. $2023$.
B. $1011$.
C. $2022$.
D. $1012$.
${{4}^{x+1}}+{{\log }_{2}}\left( y+3 \right)={{2}^{y+4}}+{{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)$
A. $2023$.
B. $1011$.
C. $2022$.
D. $1012$.
${{4}^{x+1}}+{{\log }_{2}}\left( y+3 \right)={{2}^{y+4}}+{{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)\Leftrightarrow 2. {{2}^{2x+1}}-{{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)={{2.2}^{y+3}}-{{\log }_{2}}\left( y+3 \right)$.
Hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{2.2}^{t}}-{{\log }_{2}}t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0; +\infty \right)$.
Từ đó suy ra $2x+1=y+3\Leftrightarrow y=2\left( x-1 \right)$.
Vì $1\le y\le 2023\Rightarrow 1\le 2\left( x-1 \right)\le 2023\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\le x\le \dfrac{2025}{2}$ và ứng với mỗi $x$ thì tồn tại duy nhất một giá trị $y$, nên ta có $1011$ cặp số nguyên $\left( x; y \right)$.
Hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{2.2}^{t}}-{{\log }_{2}}t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0; +\infty \right)$.
Từ đó suy ra $2x+1=y+3\Leftrightarrow y=2\left( x-1 \right)$.
Vì $1\le y\le 2023\Rightarrow 1\le 2\left( x-1 \right)\le 2023\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\le x\le \dfrac{2025}{2}$ và ứng với mỗi $x$ thì tồn tại duy nhất một giá trị $y$, nên ta có $1011$ cặp số nguyên $\left( x; y \right)$.
Đáp án B.
