Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ với $1\le x,y\le...

+ Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}:x,y\le 2023 \\
& \dfrac{2x-1}{x-4}>0,\dfrac{2y}{y+2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}:x,y\le 2023 \\
& x>4,y>0 \\
\end{aligned} \right.$.
BPT đã cho tương đương với
$\left( 4-x \right)\left( y-2 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+3}{x-4}+1 \right)\ge \left( x+3 \right)\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{y-2}{y+2}+1 \right)$
$\Leftrightarrow \left( x-4 \right)\left( y-2 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+3}{x-4}+1 \right)+\left( x+3 \right)\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{y-2}{y+2}+1 \right)\le 0$ (*).
+ Xét $y=1$ thì (*) thành $-\left( x-4 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+3}{x-4}+1 \right)+3\left( x+3 \right){{\log }_{3}}\dfrac{2}{3}\le 0$, rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi $x>4$ vì $-\left( x-4 \right)<0,{{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+3}{x-4}+1 \right)>{{\log }_{2}}1=0,3\left( x+3 \right)>0,{{\log }_{3}}\dfrac{2}{3}<0$.
Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2019 cặp số nguyên $\left( x;y \right)=\left( x;1 \right)$ với $5\le x\le 2023$.
+ Xét $y=2$ thì (*) thành $4\left( x+3 \right){{\log }_{3}}1\le 0$, BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà $5\le x\le 2023,x\in \mathbb{N}$.
Trường hợp này cũng cho ta 2019 cặp số nguyên $\left( x;y \right)=\left( x;2 \right)$ với $5\le x\le 2023$.
+ Với $y>2,x>4$ thì $VT\left( * \right)>0$ nên (*) không xảy ra.
Vậy có đúng 4038 cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.