Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình ${{\log...

${{\log }_{\sqrt{3}}}({{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1)+x{{(x-3)}^{2}}={{3}^{m}}+2m-1$
$\Leftrightarrow $ $2{{\log }_{3}}\left[ x{{(x-3)}^{2}}+1 \right]+\left[ x{{(x-3)}^{2}}+1 \right]=2{{\log }_{3}}{{3}^{m}}+{{3}^{m}} (1)$
Xét hàm số $f(t)=t+2{{\log }_{3}}t$ trên $(0;+\infty )$
${{f}^{'}}(t)=1+2\dfrac{1}{t.\ln 3}>0 \forall x\in (0;+\infty )$
$\Rightarrow $ $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$
Nên (1) $\Leftrightarrow $ $x{{(x-3)}^{2}}+1={{3}^{m}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1={{3}^{m}} (2)$
Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số $f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1$ và đường thẳng $y={{3}^{m}}$
$\begin{aligned}
& {{f}^{'}}(x)=3x-12x+9 \\
& {{f}^{'}}(x)=0\Leftrightarrow \left[ _{x=3}^{x=1} \right. \\
\end{aligned}$
Ta có bảng biến thiên

Để phương trình có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;2) thì $-49\le {{3}^{m}}\le 3$
Vì m nguyên dương nên $m\in \left\{ 1 \right\}$
Vậy có 1 giá trị m nguyên dương thỏa mãn bài toán