Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình ${{\log...

Ta có ${{\log }_{\sqrt{3}}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1 \right)+x{{\left( x-3 \right)}^{2}}={{3}^{m}}+2m-1$
$\Leftrightarrow 2{{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1 \right)+\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1 \right)={{3}^{m}}+2m$
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1 \right) \Leftrightarrow {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1={{3}^{t}}$.
Khi đó phương trình trở thành $2t+{{3}^{t}}=2m+{{3}^{m}}$.
Xét hàm số $f(u)=2u+{{3}^{u}}$ có ${f}'(u)=2+{{3}^{u}}.\ln 3>0, \forall u$.
Suy ra hàm số $f(u)$ luôn đồng biến.
Nên $f(t)=f(m) \Leftrightarrow t=m \Rightarrow {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1={{3}^{m}}$
Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1$ trên khoảng $\left( -2; 2 \right).$
${f}'(x)=3{{x}^{2}}-12x+9 \Rightarrow {f}'(x)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-12x+9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left( -2;2 \right) \\
& x=3\notin \left( -2;2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Phương trình có duy nhất một nghiệm thuộc $\left( -2; 2 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0<{{3}^{m}}\le 3 \\
& {{3}^{m}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& m={{\log }_{3}}5 \\
\end{aligned} \right.$.
Do m nguyên dương nên chọn $m=1.$
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.