Diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số...

Giao điểm của đồ thị $y=\left( {{e}^{\sin x}}+\cos x \right)\cos x$ với trục Ox là các điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình: ${{e}^{x}}\cos x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\dfrac{\pi }{2}$
Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi 4 đường trên là:
$S=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{e}^{x}}\cos xdx}-\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{2\pi }{3}}{{{e}^{x}}\cos xdx}$
Bài toán này ta cần chú ý $\left( \sin x \right)'=\cos x;$
$\left( \cos x \right)'=-\sin x$ nên ta sử dụng tích phân dạng vòng:
Ta có: $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{e}^{x}}\cos xdx}=\left. \left( {{e}^{x}}\cos x \right) \right|{}_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}+\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{e}^{x}}\sin xdx}$
$={{e}^{\dfrac{\pi }{2}}}+\left. \left( {{e}^{x}}\sin x \right) \right|{}_{0}^{\pi }-\int\limits_{0}^{\pi }{{{e}^{x}}\cos xdx}={{e}^{\dfrac{\pi }{2}}}-1-I$
Suy ra $I=\dfrac{1}{2}\left( {{e}^{\dfrac{\pi }{2}}}-1 \right)$
Tương tự ta có: $\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{2\pi }{3}}{{{e}^{x}}\cos xdx}=\dfrac{1}{4}{{e}^{\dfrac{\pi }{2}}}\left[ \left( \sqrt{3}-1 \right){{e}^{\dfrac{\pi }{6}}}-2 \right]$
$\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}\left( {{e}^{\dfrac{\pi }{2}}}-1 \right)-\dfrac{1}{4}{{e}^{\dfrac{\pi }{2}}}\left( \left( \sqrt{3}-1 \right){{e}^{\dfrac{\pi }{6}}}-2 \right)\approx 2,824$