Google
Câu hỏi: Giải mục 3 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
a) So sánh \(\left| q \right|\) với 1.
b) Tính \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.\) Từ đó, hãy tính \(\lim {S_n}.\)
Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\)khi \(n \to + \infty \)hay \(\lim {u_n} = a\).
- Công thức tính tổng cấp số nhân \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\left| q \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\)
b) \(\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\\ \Rightarrow \lim {S_n} = \lim \left[ {2 - 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim 2 - 2\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 2\end{array}\)
Phương pháp giải:
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\)
Lời giải chi tiết:
Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) có \({u_1} = 1,q = - \frac{1}{2}\) nên \(M = \frac{1}{{1 - \frac{{ - 1}}{2}}} = \frac{2}{3}\)
Phương pháp giải:
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\)
Lời giải chi tiết:
Để đơn giản, ở đây ta chỉ xét một trường hợp cụ thể (trường hợp tổng quát được giải quyết tương tự).
Giả sử tốc độ chạy của A-sin là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách điểm xuất phát O của A-sin 100km.
Ta tính thời gian A-sin đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA1, A1A2, A2A3,... , An-1An,... Nếu tổng này vô hạn thì A-sin không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà A-sin đuổi kịp rùa.
Để chạy hết quãng đường OA1 =100 (km), A-sin phải mất thời gian t1 =\(\frac{{100}}{{100}}\) =1 (h).
Với thời gian t1 này, rùa đã chạy được quãng đường A1A2 =1 (km).
Để chạy hết quãng đường A1A2 =1 (km), A-sin phải mất thời gian t2 = \(\frac{1}{{100}}\) (h).
Với thời gian t2 rùa đã chạy thêm được quãng đường A2A3 = \(\frac{1}{{100}}\) (km).
Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường An-1An = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 2}}}}\) (km), A-sin phải mất thời gian tn = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}\) (h).
Vậy tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA1, A1A2, A2A3,... , An-1An,... là:
\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + \frac{1}{{{{100}^3}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...\left( h \right)\)
Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 =1, công bội q = \(\frac{1}{{100}}\), nên ta có:
\(T = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}}\left( h \right)\)
Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau \(\frac{{100}}{{99}}\) giờ.
Vậy nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.
Hoạt động 4
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}.\)a) So sánh \(\left| q \right|\) với 1.
b) Tính \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.\) Từ đó, hãy tính \(\lim {S_n}.\)
Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\)khi \(n \to + \infty \)hay \(\lim {u_n} = a\).
- Công thức tính tổng cấp số nhân \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\left| q \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\)
b) \(\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\\ \Rightarrow \lim {S_n} = \lim \left[ {2 - 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim 2 - 2\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 2\end{array}\)
Luyện tập, vận dụng 5
Tính tổng \(M = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + ...\)Phương pháp giải:
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\)
Lời giải chi tiết:
Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) có \({u_1} = 1,q = - \frac{1}{2}\) nên \(M = \frac{1}{{1 - \frac{{ - 1}}{2}}} = \frac{2}{3}\)
Luyện tập, vận dụng 6
Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.Phương pháp giải:
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\)
Lời giải chi tiết:
Để đơn giản, ở đây ta chỉ xét một trường hợp cụ thể (trường hợp tổng quát được giải quyết tương tự).
Giả sử tốc độ chạy của A-sin là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách điểm xuất phát O của A-sin 100km.
Ta tính thời gian A-sin đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA1, A1A2, A2A3,... , An-1An,... Nếu tổng này vô hạn thì A-sin không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà A-sin đuổi kịp rùa.
Để chạy hết quãng đường OA1 =100 (km), A-sin phải mất thời gian t1 =\(\frac{{100}}{{100}}\) =1 (h).
Với thời gian t1 này, rùa đã chạy được quãng đường A1A2 =1 (km).
Để chạy hết quãng đường A1A2 =1 (km), A-sin phải mất thời gian t2 = \(\frac{1}{{100}}\) (h).
Với thời gian t2 rùa đã chạy thêm được quãng đường A2A3 = \(\frac{1}{{100}}\) (km).
Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường An-1An = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 2}}}}\) (km), A-sin phải mất thời gian tn = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}\) (h).
Vậy tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA1, A1A2, A2A3,... , An-1An,... là:
\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + \frac{1}{{{{100}^3}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...\left( h \right)\)
Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 =1, công bội q = \(\frac{1}{{100}}\), nên ta có:
\(T = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}}\left( h \right)\)
Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau \(\frac{{100}}{{99}}\) giờ.
Vậy nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.