Google
Câu hỏi: Hai con lắc đơn có chiều dài ${{\ell }_{1}}= 100 \text{cm}$ và ${{\ell }_{2}}$ (với ${{\ell }_{2}}<{{\ell }_{1}})$ được treo tại cùng một nơi có $\text{g = 10} \text{m/}{{\text{s}}^{\text{2}}}.$ Bỏ qua lực cản không khí, lấy ${{\!\!\pi\!\!}^{\text{2}}}=10.$ Ban đầu, từ vị trí cân bằng đồng thời truyền vận tốc ban đầu nằm ngang, cùng chiều cho mỗi con lắc sao cho chúng dao động điều hòa cùng trong hai mặt phẳng song song với nhau. Hình vẽ bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ góc của mỗi con lắc theo thời gian. Biết ${{\text{t}}_{\text{2}}}\text{- }{{\text{t}}_{\text{1}}}\text{=}\dfrac{\text{8}}{\text{9}} \text{s}\text{.}$ Không kể lúc truyền vận tốc, tại thời điểm mà hai dây treo song song với nhau lần thứ 2023 thì tốc độ của con lắc có chiều dài ${{\ell }_{2}}$ là
A. $19,3\text{cm/s}\text{.}$
B. $21,5 \text{cm/s}\text{.}$
C. $5,6 \text{cm/s}\text{.}$
D. $14,0 \text{cm/s}\text{.}$
B. $21,5 \text{cm/s}\text{.}$
C. $5,6 \text{cm/s}\text{.}$
D. $14,0 \text{cm/s}\text{.}$
${{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{g}{{{l}_{1}}}}\approx \sqrt{\dfrac{{{\pi }^{2}}}{1}}=\pi $ (rad/s) $\Rightarrow {{T}_{1}}=\dfrac{2\pi }{{{\omega }_{1}}}=2s$ và ${{l}_{2}}<{{l}_{1}}\Rightarrow {{\omega }_{2}}>{{\omega }_{1}}$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\alpha }_{1}}=0,1\sin \left( {{\omega }_{1}}t \right) \\
& {{\alpha }_{2}}=0,1\sin \left( {{\omega }_{2}}t \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{{{\alpha }_{2}}={{\alpha }_{1}}}\sin \left( {{\omega }_{2}}t \right)=\sin \left( {{\omega }_{1}}t \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\omega }_{2}}t={{\omega }_{1}}t+k2\pi \\
& {{\omega }_{2}}t=\pi -{{\omega }_{1}}t+h2\pi \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{k2\pi }{{{\omega }_{2}}-{{\omega }_{1}}} \\
& t=\dfrac{\pi +h2\pi }{{{\omega }_{2}}+{{\omega }_{1}}} \\
\end{aligned} \right.$
(chú ý nghiệm ${{\omega }_{2}}t={{\omega }_{1}}t+k2\pi $ là cùng chiều, còn nghiệm ${{\omega }_{2}}t=\pi -{{\omega }_{1}}t+h2\pi $ là ngược chiều)
$\Rightarrow {{t}_{2}}-{{t}_{1}}=\dfrac{\pi +2\pi }{{{\omega }_{2}}+{{\omega }_{1}}}-\dfrac{\pi }{{{\omega }_{2}}+{{\omega }_{1}}}=\dfrac{8}{9}\Rightarrow {{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}}=\dfrac{9\pi }{4}\xrightarrow{{{\omega }_{1}}=\pi }{{\omega }_{2}}=\dfrac{5\pi }{4}$ (rad/s) $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{T}_{2}}=\dfrac{2\pi }{{{\omega }_{2}}}=1,6s \\
& {{l}_{2}}=\dfrac{g}{\omega _{2}^{2}}=0,64m \\
\end{aligned} \right.$
$\dfrac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\dfrac{2}{1,6}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow {{T}_{12}}=8s$ thì 2 vật lặp lại trạng thái ban đầu nên ta chỉ cần xét trong 8s đầu
Từ $\left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{k2\pi }{5\pi /4-\pi }=8k \\
& t=\dfrac{\pi +h2\pi }{5\pi /4+\pi }=\dfrac{4}{9}+\dfrac{8h}{9} \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{0<t\le 8s}\left[ \begin{aligned}
& k=1 \\
& h=0;1;2;3;4;5;6;7;8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $cứ $ {{T}_{12}}=8s$ thì có 10 lần
$2013=201.10+3\Rightarrow {{t}_{3}}=\dfrac{4}{9}+\dfrac{8.2}{9}=\dfrac{20}{9}s$
${{s}_{2}}={{l}_{2}}{{\alpha }_{2}}={{l}_{2}}{{\alpha }_{0}}\sin \left( {{\omega }_{2}}t \right)\Rightarrow {{v}_{2}}={{s}_{2}}'={{l}_{2}}{{\alpha }_{0}}{{\omega }_{2}}\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right)=0,64.0,1.\dfrac{5\pi }{4}.\cos \left( \dfrac{5\pi }{4}.\dfrac{20}{9} \right)\approx -0,193m/s$ Vậy $\left| {{v}_{2}} \right|\approx 19,3cm/s$.
Cách 2: ${{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{g}{{{l}_{1}}}}\approx \sqrt{\dfrac{{{\pi }^{2}}}{1}}=\pi $ (rad/s) $\Rightarrow {{T}_{1}}=\dfrac{2\pi }{{{\omega }_{1}}}=2s$
Tạo dao động ảo có tần số $\omega =\dfrac{{{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}}}{2}\Rightarrow $ pha dao động cũng bằng trung bình cộng
$\Rightarrow {{t}_{2}}-{{t}_{1}}=\dfrac{T}{2}=\dfrac{8}{9}s\Rightarrow T=\dfrac{16}{9}s\Rightarrow \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{9\pi }{8}=\dfrac{\pi +{{\omega }_{2}}}{2}\Rightarrow {{\omega }_{2}}=\dfrac{5\pi }{4}(rad/s)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{T}_{2}}=\dfrac{2\pi }{{{\omega }_{2}}}=1,6s \\
& {{l}_{2}}=\dfrac{g}{\omega _{2}^{2}}=0,64m \\
\end{aligned}
\right.$$\dfrac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\dfrac{2}{1,6}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow $ cứ $ {{T}_{12}}=8s $ thì hơn nhau 1 dao động nên cứ sau $ 8s $ mới có 1 lần 2 dao động cùng pha mà $ {{T}_{12}}=8s=\dfrac{T}{4}+8,5.\dfrac{T}{2}\Rightarrow $có 9 lần dao động ảo đi qua biên + 1 lần cùng pha: 10 lần
$2013=201.10+3\Rightarrow {{t}_{3}}=\dfrac{T}{4}+2.\dfrac{T}{2}=\dfrac{20}{9}s$
${{s}_{2}}={{l}_{2}}{{\alpha }_{2}}={{l}_{2}}{{\alpha }_{0}}\cos \left( {{\omega }_{2}}t-\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow {{v}_{2}}={{l}_{2}}{{\alpha }_{0}}{{\omega }_{2}}\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right)=0,64.0,1.\dfrac{5\pi }{4}.\cos \left( \dfrac{5\pi }{4}.\dfrac{20}{9} \right)\approx -0,193m/s$ Vậy $\left| {{v}_{2}} \right|\approx 19,3cm/s$. Chọn A
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\alpha }_{1}}=0,1\sin \left( {{\omega }_{1}}t \right) \\
& {{\alpha }_{2}}=0,1\sin \left( {{\omega }_{2}}t \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{{{\alpha }_{2}}={{\alpha }_{1}}}\sin \left( {{\omega }_{2}}t \right)=\sin \left( {{\omega }_{1}}t \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\omega }_{2}}t={{\omega }_{1}}t+k2\pi \\
& {{\omega }_{2}}t=\pi -{{\omega }_{1}}t+h2\pi \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{k2\pi }{{{\omega }_{2}}-{{\omega }_{1}}} \\
& t=\dfrac{\pi +h2\pi }{{{\omega }_{2}}+{{\omega }_{1}}} \\
\end{aligned} \right.$
(chú ý nghiệm ${{\omega }_{2}}t={{\omega }_{1}}t+k2\pi $ là cùng chiều, còn nghiệm ${{\omega }_{2}}t=\pi -{{\omega }_{1}}t+h2\pi $ là ngược chiều)
$\Rightarrow {{t}_{2}}-{{t}_{1}}=\dfrac{\pi +2\pi }{{{\omega }_{2}}+{{\omega }_{1}}}-\dfrac{\pi }{{{\omega }_{2}}+{{\omega }_{1}}}=\dfrac{8}{9}\Rightarrow {{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}}=\dfrac{9\pi }{4}\xrightarrow{{{\omega }_{1}}=\pi }{{\omega }_{2}}=\dfrac{5\pi }{4}$ (rad/s) $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{T}_{2}}=\dfrac{2\pi }{{{\omega }_{2}}}=1,6s \\
& {{l}_{2}}=\dfrac{g}{\omega _{2}^{2}}=0,64m \\
\end{aligned} \right.$
$\dfrac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\dfrac{2}{1,6}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow {{T}_{12}}=8s$ thì 2 vật lặp lại trạng thái ban đầu nên ta chỉ cần xét trong 8s đầu
Từ $\left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{k2\pi }{5\pi /4-\pi }=8k \\
& t=\dfrac{\pi +h2\pi }{5\pi /4+\pi }=\dfrac{4}{9}+\dfrac{8h}{9} \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{0<t\le 8s}\left[ \begin{aligned}
& k=1 \\
& h=0;1;2;3;4;5;6;7;8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $cứ $ {{T}_{12}}=8s$ thì có 10 lần
$2013=201.10+3\Rightarrow {{t}_{3}}=\dfrac{4}{9}+\dfrac{8.2}{9}=\dfrac{20}{9}s$
${{s}_{2}}={{l}_{2}}{{\alpha }_{2}}={{l}_{2}}{{\alpha }_{0}}\sin \left( {{\omega }_{2}}t \right)\Rightarrow {{v}_{2}}={{s}_{2}}'={{l}_{2}}{{\alpha }_{0}}{{\omega }_{2}}\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right)=0,64.0,1.\dfrac{5\pi }{4}.\cos \left( \dfrac{5\pi }{4}.\dfrac{20}{9} \right)\approx -0,193m/s$ Vậy $\left| {{v}_{2}} \right|\approx 19,3cm/s$.
Cách 2: ${{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{g}{{{l}_{1}}}}\approx \sqrt{\dfrac{{{\pi }^{2}}}{1}}=\pi $ (rad/s) $\Rightarrow {{T}_{1}}=\dfrac{2\pi }{{{\omega }_{1}}}=2s$
Tạo dao động ảo có tần số $\omega =\dfrac{{{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}}}{2}\Rightarrow $ pha dao động cũng bằng trung bình cộng
$\Rightarrow {{t}_{2}}-{{t}_{1}}=\dfrac{T}{2}=\dfrac{8}{9}s\Rightarrow T=\dfrac{16}{9}s\Rightarrow \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{9\pi }{8}=\dfrac{\pi +{{\omega }_{2}}}{2}\Rightarrow {{\omega }_{2}}=\dfrac{5\pi }{4}(rad/s)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{T}_{2}}=\dfrac{2\pi }{{{\omega }_{2}}}=1,6s \\
& {{l}_{2}}=\dfrac{g}{\omega _{2}^{2}}=0,64m \\
\end{aligned}
$2013=201.10+3\Rightarrow {{t}_{3}}=\dfrac{T}{4}+2.\dfrac{T}{2}=\dfrac{20}{9}s$
${{s}_{2}}={{l}_{2}}{{\alpha }_{2}}={{l}_{2}}{{\alpha }_{0}}\cos \left( {{\omega }_{2}}t-\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow {{v}_{2}}={{l}_{2}}{{\alpha }_{0}}{{\omega }_{2}}\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right)=0,64.0,1.\dfrac{5\pi }{4}.\cos \left( \dfrac{5\pi }{4}.\dfrac{20}{9} \right)\approx -0,193m/s$ Vậy $\left| {{v}_{2}} \right|\approx 19,3cm/s$. Chọn A
Đáp án A.
