Google
Câu hỏi: Một khối cầu có bán kính là $5\left( dm \right)$, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng $3\left( dm \right)$ để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.
A. $\dfrac{100}{3}\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
B. $\dfrac{43}{3}\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
C. $41\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
D. $132\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
B. $\dfrac{43}{3}\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
C. $41\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
D. $132\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, xét đường tròn $(C):{{(x-5)}^{2}}+{{y}^{2}}=25$. Ta thấy nếu cho nửa trên trục $Ox$ của $\left( C \right)$ quay quanh trục $Ox$ ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi nửa trên trục $Ox$ của $\left( C \right)$, trục $Ox$, hai đường thẳng $x=0,x=2$ quay xung quanh trục $Ox$ ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.
Ta có ${{(x-5)}^{2}}+{{y}^{2}}=25\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{25-{{(x-5)}^{2}}}$.
$\Rightarrow $ Nửa trên trục $Ox$ của $\left( C \right)$ có phương trình $y=\sqrt{25-{{(x-5)}^{2}}}=\sqrt{10x-{{x}^{2}}}$.
$\Rightarrow $ Thể tích vật thể tròn xoay khi cho $\left( H \right)$ quay quanh $Ox$ là:
${{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 10x-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\left. \pi \left( 5{{x}^{2}}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{2}=\dfrac{52\pi }{3}$.
Ta có ${{(x-5)}^{2}}+{{y}^{2}}=25\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{25-{{(x-5)}^{2}}}$.
$\Rightarrow $ Nửa trên trục $Ox$ của $\left( C \right)$ có phương trình $y=\sqrt{25-{{(x-5)}^{2}}}=\sqrt{10x-{{x}^{2}}}$.
$\Rightarrow $ Thể tích vật thể tròn xoay khi cho $\left( H \right)$ quay quanh $Ox$ là:
${{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 10x-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\left. \pi \left( 5{{x}^{2}}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{2}=\dfrac{52\pi }{3}$.
Đáp án D.