Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng $5$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ có chu vi bằng $6\pi $. Xét tứ diện $ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn $\left( C \right)$ còn $D$ di chuyển trên mặt cầu $\left( S \right)$. Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng.
A. $21\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{81\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{41\sqrt{3}}{2}$.
D. $20\sqrt{3}$.
A. $21\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{81\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{41\sqrt{3}}{2}$.
D. $20\sqrt{3}$.
Ta có đường tròn $\left( C \right)$ có chu vi bằng $6\pi $ nên bán kính đường tròn $\left( C \right)$ là $r=3$ nên khoảng cách từ tâm mặt cầu đến $\left( P \right)$ là $d\left( I,\left( ABC \right) \right)=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=4$.
Do tam giác $ABC$ đều nên $3=r=\dfrac{AB.AC.BC}{4{{S}_{ABC}}}=\dfrac{A{{B}^{3}}}{4\dfrac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}}\Leftrightarrow AB=3\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{27\sqrt{3}}{4}$.
Ta có $d\left( D,\left( ABC \right) \right)\le d\left( I,\left( ABC \right) \right)+R=9$.
Khi đó giá trị lớn nhất của ${{V}_{ABCD}}$ là ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}d\left( D,\left( ABC \right) \right){{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}9.\dfrac{27\sqrt{3}}{4}=\dfrac{81\sqrt{3}}{4}$.
Do tam giác $ABC$ đều nên $3=r=\dfrac{AB.AC.BC}{4{{S}_{ABC}}}=\dfrac{A{{B}^{3}}}{4\dfrac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}}\Leftrightarrow AB=3\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{27\sqrt{3}}{4}$.
Ta có $d\left( D,\left( ABC \right) \right)\le d\left( I,\left( ABC \right) \right)+R=9$.
Khi đó giá trị lớn nhất của ${{V}_{ABCD}}$ là ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}d\left( D,\left( ABC \right) \right){{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}9.\dfrac{27\sqrt{3}}{4}=\dfrac{81\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án B.