Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$, bán kính bằng 5. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thay đổi cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$. Xét khối nón $\left( N \right)$ nhận đường tròn $\left( C \right)$ làm đáy, chiều cao $h \left( h>5 \right)$ và đỉnh là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$. Khối nón $\left( N \right)$ có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. $\dfrac{4000}{81}\pi $.
B. $\dfrac{4000}{27}$.
C. $\dfrac{4000}{27}\pi $.
D. $\dfrac{4000}{81}$
A. $\dfrac{4000}{81}\pi $.
B. $\dfrac{4000}{27}$.
C. $\dfrac{4000}{27}\pi $.
D. $\dfrac{4000}{81}$
[/LIST]
Khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng: $h-5$
Bán kính đường tròn $\left( C \right)$ : $r=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( h-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{h}^{2}}+10h-25}=\sqrt{-{{h}^{2}}+10h}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi h\left( -{{h}^{2}}+10h \right)=\dfrac{1}{3}\pi {{h}^{2}}\left( -h+10 \right)=\dfrac{1}{6}\pi {{h}^{2}}\left( -2h+20 \right) \\
& \overset{AM-GM}{\mathop{\le }} \dfrac{1}{6}\pi {{\left( \dfrac{h+h-2h+20}{3} \right)}^{3}} \\
& \le \dfrac{4000\pi }{81} \\
\end{aligned}$
Vậy ${{V}_{\max }}=\dfrac{4000\pi }{81}\Leftrightarrow h=\dfrac{20}{3}$
Bán kính đường tròn $\left( C \right)$ : $r=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( h-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{h}^{2}}+10h-25}=\sqrt{-{{h}^{2}}+10h}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi h\left( -{{h}^{2}}+10h \right)=\dfrac{1}{3}\pi {{h}^{2}}\left( -h+10 \right)=\dfrac{1}{6}\pi {{h}^{2}}\left( -2h+20 \right) \\
& \overset{AM-GM}{\mathop{\le }} \dfrac{1}{6}\pi {{\left( \dfrac{h+h-2h+20}{3} \right)}^{3}} \\
& \le \dfrac{4000\pi }{81} \\
\end{aligned}$
Vậy ${{V}_{\max }}=\dfrac{4000\pi }{81}\Leftrightarrow h=\dfrac{20}{3}$
Đáp án A.