Google
Câu hỏi: Một lò xo và một sợi dây đàn hồi nhẹ có cùng chiều dài tự nhiên được treo thẳng đứng vào cùng một điểm cố định, đầu còn lại của lò xo và sợi dây gắn vào vật nặng có khối lượng m =100 g như hình vẽ. Lò xo có độ cứng ${{k}_{1}}=10\text{ N/m}$, sợi dây khi bị kéo dãn xuất hiện lực đàn hồi có độ lớn tỷ lệ với độ giãn của sợi dây với hệ số đàn hồi ${{k}_{2}}=30\text{ N/m}$ (sợi dây khi bị kéo dãn tương đương như một lò xo, khi dây bị cùng lực đàn hồi triệt tiêu) Ban đầu vật đang ở vị trí cân bằng, kéo vật thẳng đứng xuống dưới một đoạn a = 5 cm rồi thả nhẹ. Khoảng thời gian kể từ khi thả cho đến khi vật đạt độ cao cực đại lần thứ nhất xấp xỉ bằng
A. 0,157 s.
B. 0,751 s.
C. 0,175 s.
D. 0,457 s.
A. 0,157 s.
B. 0,751 s.
C. 0,175 s.
D. 0,457 s.
Chọn gốc tọa độ tại VTCB; chiều dương hướng xuống dưới
Độ giãn của hệ lò xo + dây đàn hồi khi vật ở VTCB: $\Delta l=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{0,1.10}{40}=2,5\text{ cm}$.
Khoảng thời gian từ khi thả vật đến khi vật đạt độ cao cực đại lần thứ nhất được chia làm hai giai đoạn:
+ Giai đoạn 1 (sợi dây bị kéo giãn tương đương như một lò xo): Vật đi từ vị trí x = 5 cm đến vị trí $x=-\Delta l=-2,5\text{ cm}$.
+ Giai đoạn 2 (khi dây bị trùng lực đàn hồi bị triệt tiêu): Vật đi từ vị trí $x=-\Delta l=-2,5\text{ cm}$ đến biên âm.
Giai đoạn 1: Hệ dao động gồm lò xo và sợi dây đàn hồi nhẹ có cùng chiều dài tự nhiên treo thẳng đứng vào cùng một điểm cố định đầu còn lại của lò xo và sợi dây gắn vào vật nặng được coi như hai lò xo mắc song song.
$\Rightarrow k={{k}_{1}}+{{k}_{2}}=10+30=40\text{ N/m}$. $T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\dfrac{0,1}{40}}=0,1\pi \text{ (s)}$
Ban đầu vật ở VTCB, kéo vật thẳng đứng xuống dưới một đoạn a = 5 cm rồi thả nhẹ $\Rightarrow A=5\text{ cm}$.
Thời gian vật đi từ x = 5 cm đến $x=-2,5\text{ cm}$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác:
$\Rightarrow $ Góc quét: ${{\alpha }_{1}}=\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{2\pi }{3}\Rightarrow {{t}_{1}}=\dfrac{2\pi }{3}\dfrac{T}{2\pi }=\dfrac{2\pi }{3}.\dfrac{0,1\pi }{2\pi }=\dfrac{\pi }{30}s$
Tại li độ $x=-2,5\text{ cm}$ vật có vận tốc:
$v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\dfrac{2\pi }{0,1\pi }\sqrt{{{5}^{2}}-{{2,5}^{2}}}=50\sqrt{3}\text{ (cm/s)}$
Giai đoạn 2: Độ giãn của lò xo ở VTCB: $\Delta {l}'=\dfrac{mg}{{{k}_{1}}}=10\text{ cm}\Rightarrow $ tại vị trí lò xo không biến dạng $x=-10\text{ cm}$.
Vật dao động điều hòa với chu kì và biên độ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {T}'=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{{{k}_{1}}}}=2\pi \sqrt{\dfrac{0,1}{10}}=0,2\pi \text{ (s)}\Rightarrow {\omega }'=\dfrac{2\pi }{0,2\pi }=10\text{ rad/s} \\
& {A}'=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{{{\omega }'}}^{2}}}}=\sqrt{{{(-10)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 50\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{10}^{2}}}}=5\sqrt{7}\text{ cm} \\
\end{aligned} \right.$
Vật đi từ vị trí $x=-\Delta l=-10\text{ cm}$ đến biên âm $x=-5\sqrt{7}\text{ cm}$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Từ đường tròn lượng giác ta tính được: ${{\alpha }_{2}}=0,71\text{ rad}\Rightarrow {{t}_{2}}=\dfrac{{{\alpha }_{2}}}{{{\omega }'}}=0,071\text{s}$
$\Rightarrow $ Khoảng thời gian kể từ khi thả vật đến khi vật đạt độ cao cực đại: $t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}=0,175\text{s}$.
Độ giãn của hệ lò xo + dây đàn hồi khi vật ở VTCB: $\Delta l=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{0,1.10}{40}=2,5\text{ cm}$.
Khoảng thời gian từ khi thả vật đến khi vật đạt độ cao cực đại lần thứ nhất được chia làm hai giai đoạn:
+ Giai đoạn 1 (sợi dây bị kéo giãn tương đương như một lò xo): Vật đi từ vị trí x = 5 cm đến vị trí $x=-\Delta l=-2,5\text{ cm}$.
+ Giai đoạn 2 (khi dây bị trùng lực đàn hồi bị triệt tiêu): Vật đi từ vị trí $x=-\Delta l=-2,5\text{ cm}$ đến biên âm.
Giai đoạn 1: Hệ dao động gồm lò xo và sợi dây đàn hồi nhẹ có cùng chiều dài tự nhiên treo thẳng đứng vào cùng một điểm cố định đầu còn lại của lò xo và sợi dây gắn vào vật nặng được coi như hai lò xo mắc song song.
$\Rightarrow k={{k}_{1}}+{{k}_{2}}=10+30=40\text{ N/m}$. $T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\dfrac{0,1}{40}}=0,1\pi \text{ (s)}$
Ban đầu vật ở VTCB, kéo vật thẳng đứng xuống dưới một đoạn a = 5 cm rồi thả nhẹ $\Rightarrow A=5\text{ cm}$.
Thời gian vật đi từ x = 5 cm đến $x=-2,5\text{ cm}$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác:
$\Rightarrow $ Góc quét: ${{\alpha }_{1}}=\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{2\pi }{3}\Rightarrow {{t}_{1}}=\dfrac{2\pi }{3}\dfrac{T}{2\pi }=\dfrac{2\pi }{3}.\dfrac{0,1\pi }{2\pi }=\dfrac{\pi }{30}s$
Tại li độ $x=-2,5\text{ cm}$ vật có vận tốc:
$v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\dfrac{2\pi }{0,1\pi }\sqrt{{{5}^{2}}-{{2,5}^{2}}}=50\sqrt{3}\text{ (cm/s)}$
Giai đoạn 2: Độ giãn của lò xo ở VTCB: $\Delta {l}'=\dfrac{mg}{{{k}_{1}}}=10\text{ cm}\Rightarrow $ tại vị trí lò xo không biến dạng $x=-10\text{ cm}$.
Vật dao động điều hòa với chu kì và biên độ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {T}'=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{{{k}_{1}}}}=2\pi \sqrt{\dfrac{0,1}{10}}=0,2\pi \text{ (s)}\Rightarrow {\omega }'=\dfrac{2\pi }{0,2\pi }=10\text{ rad/s} \\
& {A}'=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{{{\omega }'}}^{2}}}}=\sqrt{{{(-10)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 50\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{10}^{2}}}}=5\sqrt{7}\text{ cm} \\
\end{aligned} \right.$
Vật đi từ vị trí $x=-\Delta l=-10\text{ cm}$ đến biên âm $x=-5\sqrt{7}\text{ cm}$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Từ đường tròn lượng giác ta tính được: ${{\alpha }_{2}}=0,71\text{ rad}\Rightarrow {{t}_{2}}=\dfrac{{{\alpha }_{2}}}{{{\omega }'}}=0,071\text{s}$
$\Rightarrow $ Khoảng thời gian kể từ khi thả vật đến khi vật đạt độ cao cực đại: $t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}=0,175\text{s}$.
Đáp án C.
