Google
Câu hỏi: Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy, một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính phía trong của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).
A. $\dfrac{5}{9}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{4}{9}$.
D. $\dfrac{2}{3}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{4}{9}$.
D. $\dfrac{2}{3}$.
Gọi $h$ và $r$ lần lượt là chiều cao và bán kính của cốc nước hình trụ.
$h'$ là chiều cao của khối nón.
$V, {{V}_{1}}$ lần lượt là thể tích của khối trụ và lượng nước còn lại.
Theo giả thiết ta có: $h=6r, h'=4r$.
Thể tích của khối trụ: $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{2}}.6r=6\pi {{r}^{3}}$.
Thể tích khối cầu: ${{V}_{c}}=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$.
Thể tích của khối nón: ${{V}_{n}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.h'=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.4r=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}.$
Thể tích của khối nước còn lại ${{V}_{1}}=V-{{V}_{c}}-{{V}_{n}}=6\pi {{r}^{3}}-\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}-\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\dfrac{10}{3}\pi {{r}^{3}}$.
Suy ra $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{\dfrac{10}{3}\pi {{r}^{3}}}{6\pi {{r}^{3}}}=\dfrac{5}{9}$.
$h'$ là chiều cao của khối nón.
$V, {{V}_{1}}$ lần lượt là thể tích của khối trụ và lượng nước còn lại.
Theo giả thiết ta có: $h=6r, h'=4r$.
Thể tích của khối trụ: $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{2}}.6r=6\pi {{r}^{3}}$.
Thể tích khối cầu: ${{V}_{c}}=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$.
Thể tích của khối nón: ${{V}_{n}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.h'=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.4r=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}.$
Thể tích của khối nước còn lại ${{V}_{1}}=V-{{V}_{c}}-{{V}_{n}}=6\pi {{r}^{3}}-\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}-\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\dfrac{10}{3}\pi {{r}^{3}}$.
Suy ra $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{\dfrac{10}{3}\pi {{r}^{3}}}{6\pi {{r}^{3}}}=\dfrac{5}{9}$.
Đáp án A.
