Google
Câu hỏi: Trên bàn có một cố nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng $3$ lần đường kính của đáy; Một viên bi và một khối nón đều bằng thuỷ tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính của đường tròn đáy cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón sao cho đỉnh khối nón nằm trên mặt cầu ( như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu.
A. $\dfrac{4}{9}$.
B. $\dfrac{5}{9}$.
C. $\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
Gọi bán kính đáy của cốc nước hình trụ là $r$, suy ra chiều cao cốc nước bằng $6r$.
Khi đó thể tích khối trụ bằng lượng nước ban đầu: ${{V}_{1}}=\pi {{r}^{2}}.6r=6\pi {{r}^{3}}$.
Thể tích khối cầu bằng: ${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$.
Khối nón có chiều cao bằng $h=6r-2r=4r$ nên thể tích bằng ${{V}_{3}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.4r=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$.
Phần thể tích nước tràn ra đúng bằng thể tích chiếm chỗ của khối cầu và khối nón.
Suy ra thể tích lượng nước còn lại bằng: $V={{V}_{1}}-\left( {{V}_{2}}+{{V}_{3}} \right)=6\pi {{r}^{3}}-\left( \dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}+\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}} \right)=\dfrac{10}{3}\pi {{r}^{3}}$.
Vậy tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu bằng $\dfrac{\dfrac{10}{3}\pi {{r}^{3}}}{6\pi {{r}^{3}}}=\dfrac{5}{9}$ .
A. $\dfrac{4}{9}$.
B. $\dfrac{5}{9}$.
C. $\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
Gọi bán kính đáy của cốc nước hình trụ là $r$, suy ra chiều cao cốc nước bằng $6r$.
Khi đó thể tích khối trụ bằng lượng nước ban đầu: ${{V}_{1}}=\pi {{r}^{2}}.6r=6\pi {{r}^{3}}$.
Thể tích khối cầu bằng: ${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$.
Khối nón có chiều cao bằng $h=6r-2r=4r$ nên thể tích bằng ${{V}_{3}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.4r=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$.
Phần thể tích nước tràn ra đúng bằng thể tích chiếm chỗ của khối cầu và khối nón.
Suy ra thể tích lượng nước còn lại bằng: $V={{V}_{1}}-\left( {{V}_{2}}+{{V}_{3}} \right)=6\pi {{r}^{3}}-\left( \dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}+\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}} \right)=\dfrac{10}{3}\pi {{r}^{3}}$.
Vậy tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu bằng $\dfrac{\dfrac{10}{3}\pi {{r}^{3}}}{6\pi {{r}^{3}}}=\dfrac{5}{9}$ .
Đáp án B.
