Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-6z+m=0$ $\left( 1 \right)$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $\left( 0 ; 2023 \right)$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$ ?
A. $2020$.
B. $2011$.
C. $2012$.
D. $2013$.
A. $2020$.
B. $2011$.
C. $2012$.
D. $2013$.
Điều kiện để phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt là: $\Delta =9-m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 9$
Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m<9$. Khi đó phương trình $\left( * \right)$ có $2$ nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{1}}}$, ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{2}}}$ nên ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}^{2}={{z}_{2}}^{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}} \\
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{z}_{1}}={{z}_{2}}$, không thoả mãn yêu cầu phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt, nên loại.
Với ${{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0$ không thỏa mãn, do theo Vi-ét, ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=6$.
Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m>9$. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ và
${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$, ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$. Yêu cầu ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{z}_{1}}{{z}_{2}}$ luôn đúng với $m>9$.
Vậy trong khoảng $\left( 0; 2023 \right)$ có $2013$ số ${{m}_{0}}$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m<9$. Khi đó phương trình $\left( * \right)$ có $2$ nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{1}}}$, ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{2}}}$ nên ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}^{2}={{z}_{2}}^{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}} \\
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{z}_{1}}={{z}_{2}}$, không thoả mãn yêu cầu phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt, nên loại.
Với ${{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0$ không thỏa mãn, do theo Vi-ét, ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=6$.
Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m>9$. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ và
${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$, ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$. Yêu cầu ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{z}_{1}}{{z}_{2}}$ luôn đúng với $m>9$.
Vậy trong khoảng $\left( 0; 2023 \right)$ có $2013$ số ${{m}_{0}}$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.