Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2(m+1)z+6m+1=0$ (với $m$ là tham số thực). Gọi
$S$ là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1,}}{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$. Giá trị của $S$ bằng
A. $4.$
B. $5.$
C. $6.$
D. $10.$
$S$ là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1,}}{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$. Giá trị của $S$ bằng
A. $4.$
B. $5.$
C. $6.$
D. $10.$
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: ${\Delta }'={{(m+1)}^{2}}-6m-1={{m}^{2}}-4m$.
Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>4 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó phương trình có $2$ nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{1}}}$, ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{2}}}$.
Nên ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}^{2}={{z}_{2}}^{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}} \\
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{z}_{1}}={{z}_{2}}$, không thoả mãn yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt, nên loại.
Với ${{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 2(m+1)=0\Leftrightarrow m=-1$ (thỏa mãn)
Trường hợp 2: $0<m<4$.
Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ và ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$, ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$.
Yêu cầu ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{z}_{1}}{{z}_{2}}$ luôn đúng với $0<m<4$ mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3 \right\}$
Tổng các giá trị của $m$ là: $-1+1+2+3=5$
Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>4 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó phương trình có $2$ nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{1}}}$, ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{2}}}$.
Nên ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}^{2}={{z}_{2}}^{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}} \\
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{z}_{1}}={{z}_{2}}$, không thoả mãn yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt, nên loại.
Với ${{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 2(m+1)=0\Leftrightarrow m=-1$ (thỏa mãn)
Trường hợp 2: $0<m<4$.
Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ và ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$, ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$.
Yêu cầu ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{z}_{1}}{{z}_{2}}$ luôn đúng với $0<m<4$ mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3 \right\}$
Tổng các giá trị của $m$ là: $-1+1+2+3=5$
Đáp án B.