Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$ cho điểm $A\left( 2; 1; 3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+my+\left( 2m+1 \right)z-m-2=0$, $m$ là tham số. Gọi $H\left( a; b; c \right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $\left( P \right)$. Tính $a+b$ khi khoảng cách từ điểm $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất ?
A. $a+b=-\dfrac{1}{2}$.
B. $a+b=2$.
C. $a+b=0$.
D. $a+b=\dfrac{3}{2}$.
Phương trình có nghiệm với $\forall m$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y+2z-1=0 \\
& x+z-2=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\left( P \right)$ luôn đi qua đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=1-2t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
$K\in d\Rightarrow K\left( 2-t; 1-2t; t \right)$, $\overrightarrow{AK}\left( -t; -2t; t-3 \right)$
Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{u}\left( -1; -2; 1 \right)$
$\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t+4t+t-3=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow K\left( \dfrac{3}{2}; 0; \dfrac{1}{2} \right)$
Ta có $AH\le AK$ $\Rightarrow A{{H}_{\text{max}}}=AK$ $\Leftrightarrow H\equiv K$.
Vậy $a+b=\dfrac{3}{2}$.
A. $a+b=-\dfrac{1}{2}$.
B. $a+b=2$.
C. $a+b=0$.
D. $a+b=\dfrac{3}{2}$.
$x+my+\left( 2m+1 \right)z-m-2=0\Leftrightarrow m\left( y+2z-1 \right)+x+z-2=0$ Phương trình có nghiệm với $\forall m$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y+2z-1=0 \\
& x+z-2=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\left( P \right)$ luôn đi qua đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=1-2t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
$K\in d\Rightarrow K\left( 2-t; 1-2t; t \right)$, $\overrightarrow{AK}\left( -t; -2t; t-3 \right)$
Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{u}\left( -1; -2; 1 \right)$
$\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t+4t+t-3=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow K\left( \dfrac{3}{2}; 0; \dfrac{1}{2} \right)$
Ta có $AH\le AK$ $\Rightarrow A{{H}_{\text{max}}}=AK$ $\Leftrightarrow H\equiv K$.
Vậy $a+b=\dfrac{3}{2}$.
Đáp án D.