Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2 x+2 z+1=0$ và đường thẳng $d: \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{-1}$. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $A$ và $B$. Gọi $H(a ; b ; c)$ là trung điểm $A B$. Giá trị $a+b+c$ bằng
A. $\dfrac{1}{6}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{5}{6}$.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1 ; 0 ;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2-1}=1$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $I$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình:
$
1(x-1)+1(y-0)-1(z+1)=0 \Leftrightarrow x+y-z-2=0 \text {. }
$
Gọi $K$ là hình chiếu của $I$ trên $d$, do $K \in d \Rightarrow K(t ; 2+t ;-t)$ và $K \in(P) \Rightarrow t+2+t-(-t)-$ $2=0 \Leftrightarrow t=0 \Rightarrow K(0 ; 2 ; 0)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt $(S)$ theo đường tròn lớn $(C)$, có $A, B \in(C)$ và $H=I K \cap A B . I K=$ $\sqrt{(0-1)^2+(2-0)^2+(0+1)^2}=\sqrt{6}$
$I H . I K=I A^2=1 \Rightarrow \dfrac{I H}{I K}=\dfrac{1}{6} \Rightarrow \overrightarrow{I H}=\dfrac{1}{6} \overrightarrow{I K}$ (vì $\overrightarrow{I H}, \overrightarrow{I K}$ cùng hướng).
$
\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ a - 1 = \dfrac { 1 } { 6 } ( 0 - 1 ) } \\
{ b - 0 = \dfrac { 1 } { 6 } ( 2 - 0 ) } \\
{ c + 1 = \dfrac { 1 } { 6 } ( 0 + 1 ) }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
a=\dfrac{5}{6} \\
b=\dfrac{1}{3} \\
c=-\dfrac{5}{6}
\end{array} \Rightarrow a+b+c=\dfrac{1}{3} .\right.\right.
$
A. $\dfrac{1}{6}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{5}{6}$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $I$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình:
$
1(x-1)+1(y-0)-1(z+1)=0 \Leftrightarrow x+y-z-2=0 \text {. }
$
Gọi $K$ là hình chiếu của $I$ trên $d$, do $K \in d \Rightarrow K(t ; 2+t ;-t)$ và $K \in(P) \Rightarrow t+2+t-(-t)-$ $2=0 \Leftrightarrow t=0 \Rightarrow K(0 ; 2 ; 0)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt $(S)$ theo đường tròn lớn $(C)$, có $A, B \in(C)$ và $H=I K \cap A B . I K=$ $\sqrt{(0-1)^2+(2-0)^2+(0+1)^2}=\sqrt{6}$
$I H . I K=I A^2=1 \Rightarrow \dfrac{I H}{I K}=\dfrac{1}{6} \Rightarrow \overrightarrow{I H}=\dfrac{1}{6} \overrightarrow{I K}$ (vì $\overrightarrow{I H}, \overrightarrow{I K}$ cùng hướng).
$
\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ a - 1 = \dfrac { 1 } { 6 } ( 0 - 1 ) } \\
{ b - 0 = \dfrac { 1 } { 6 } ( 2 - 0 ) } \\
{ c + 1 = \dfrac { 1 } { 6 } ( 0 + 1 ) }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
a=\dfrac{5}{6} \\
b=\dfrac{1}{3} \\
c=-\dfrac{5}{6}
\end{array} \Rightarrow a+b+c=\dfrac{1}{3} .\right.\right.
$
Đáp án B.