Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1-2i \right|=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+{{\left| z-1-4i \right|}^{2}}-2{{\left| z+1-2i \right|}^{2}}$.
A. $\sqrt{10}$.
B. $0$.
C. $-4\sqrt{10}$.
D. $-8\sqrt{10}$.
Trong hệ trục $Oxy$ gọi $M\left( x; y \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$.
Theo đề $\left| z-1-2i \right|=2\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4.$ Suy ra tập hợp điểm $M$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1; 2 \right), $ bán kính $R=2$.
Gọi $A\left( 3; 2 \right) ,B\left( 1; 4 \right), C\left( -1; 2 \right)$. Các điểm $A, B, C$ nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ và $AC$ là đường kính, $AC=4, BA=BC=2\sqrt{2}.$
Khi đó $P={{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+{{\left| z-1-4i \right|}^{2}}-2{{\left| z+1-2i \right|}^{2}}$
$=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}$
$={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$
$=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+I{{A}^{2}}+M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+I{{B}^{2}}-2\left( M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IC}+I{{C}^{2}} \right)$
$={{R}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+{{R}^{2}}+{{R}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+{{R}^{2}}-2\left( {{R}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IC}+{{R}^{2}} \right)$
$=2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC} \right)$
$=2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right)$
$=2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right)$
$=2\overrightarrow{MI}.\left( 2\overrightarrow{CJ} \right)$, (Với $J$ là trung điểm của $AB$ )
$=4\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{CJ}=4MI.CJ.cos\left( \overrightarrow{MI},\overrightarrow{CJ} \right)=4.2.CJ.cos\left( \overrightarrow{MI},\overrightarrow{CJ} \right)\ge -8CJ.$
Với $CJ=\sqrt{C{{B}^{2}}+B{{J}^{2}}}=\sqrt{C{{B}^{2}}+\dfrac{C{{A}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}{4}}=\sqrt{10}.$ Suy ra $P\ge -8\sqrt{10}.$
Vậy ${{P}_{\min }}=-8\sqrt{10}.$ Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow $ hai vectơ $\overrightarrow{MI}$ và $\overrightarrow{CJ}$ ngược hướng.
A. $\sqrt{10}$.
B. $0$.
C. $-4\sqrt{10}$.
D. $-8\sqrt{10}$.
Theo đề $\left| z-1-2i \right|=2\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4.$ Suy ra tập hợp điểm $M$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1; 2 \right), $ bán kính $R=2$.
Gọi $A\left( 3; 2 \right) ,B\left( 1; 4 \right), C\left( -1; 2 \right)$. Các điểm $A, B, C$ nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ và $AC$ là đường kính, $AC=4, BA=BC=2\sqrt{2}.$
Khi đó $P={{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+{{\left| z-1-4i \right|}^{2}}-2{{\left| z+1-2i \right|}^{2}}$
$=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}$
$={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$
$=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+I{{A}^{2}}+M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+I{{B}^{2}}-2\left( M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IC}+I{{C}^{2}} \right)$
$={{R}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+{{R}^{2}}+{{R}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+{{R}^{2}}-2\left( {{R}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IC}+{{R}^{2}} \right)$
$=2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC} \right)$
$=2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right)$
$=2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right)$
$=2\overrightarrow{MI}.\left( 2\overrightarrow{CJ} \right)$, (Với $J$ là trung điểm của $AB$ )
$=4\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{CJ}=4MI.CJ.cos\left( \overrightarrow{MI},\overrightarrow{CJ} \right)=4.2.CJ.cos\left( \overrightarrow{MI},\overrightarrow{CJ} \right)\ge -8CJ.$
Với $CJ=\sqrt{C{{B}^{2}}+B{{J}^{2}}}=\sqrt{C{{B}^{2}}+\dfrac{C{{A}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}{4}}=\sqrt{10}.$ Suy ra $P\ge -8\sqrt{10}.$
Vậy ${{P}_{\min }}=-8\sqrt{10}.$ Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow $ hai vectơ $\overrightarrow{MI}$ và $\overrightarrow{CJ}$ ngược hướng.
Đáp án D.