Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, góc giữa mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ và mặt đáy $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{1}{4}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3}{4}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ suy ra $AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $\left( \widehat{\left( {A}'BC \right),\left( ABC \right)} \right)=\widehat{{A}'IA}=60{}^\circ $.
Xét tam giác ${A}'AI$ vuông tại $A$ có ${A}'A=AI\tan \widehat{{A}'IA}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \tan 60{}^\circ =\dfrac{3a}{2}$.
Diện tích tam giác đều $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho bằng $V={{S}_{ABC}}\cdot {A}'A=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot \dfrac{3a}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{1}{4}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3}{4}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
Xét tam giác ${A}'AI$ vuông tại $A$ có ${A}'A=AI\tan \widehat{{A}'IA}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \tan 60{}^\circ =\dfrac{3a}{2}$.
Diện tích tam giác đều $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho bằng $V={{S}_{ABC}}\cdot {A}'A=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot \dfrac{3a}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
Đáp án D.