Google
Câu hỏi: Cho khối nón tròn xoay có đường cao $h=20~cm$, bán kính đáy $r=25~\text{cm}$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua đỉnh của khối nón và cách tâm $\text{O}$ của đáy khối nón một khoảng bằng $12~\text{cm}$. Khi đó diện tích thiết điện của khổi nón cắt bởi mặt phằng $(P)$ bằng:
A. $500~\text{c}{{\text{m}}^{2}}$.
B. $475~\text{c}{{\text{m}}^{2}}$.
C. $450~\text{c}{{\text{m}}^{2}}$.
D. $550~\text{c}{{\text{m}}^{2}}$.
Gọi $S$ là đình của khối nón. Mặt phẳng $(\text{P})$ đi qua đỉnh $\text{S}$ cắt khối nón theo hai đường sinh bằng nhau là $SA=SB$ nên ta có thiết diện là tam giác cân $SAB$.
Gọi I là trung điêm của đoạn $\text{AB}$, ta có $OI\bot AB$. Từ tâm $\text{O}$ của đáy ta kẻ $OH\bot SI$ tại $\text{H}$, ta có $OH\bot (SAB)$ và do đó theo giả thiết ta có $OH=12~\text{cm}$. Xét tam giác vuông SOI
$\text{ ta c }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ : }\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{{{12}^{2}}}-\dfrac{1}{{{20}^{2}}}\Rightarrow OI=15(~\text{cm}).$
Mặt khác, xét tam giác vuông SOI ta còn có: $OS.OI=SI.OH$ $\Rightarrow SI=\dfrac{OS.OI}{OH}=\dfrac{20.15}{12}=25(~\text{cm}).$
Gọi ${{S}_{t}}$ là diện tích của thiết diện tam giác $\text{SAB}$. Ta có: ${{S}_{t}}=\dfrac{1}{2}AB.SI$, trong đó
$AB=2AI$. Vì $A{{I}^{2}}=O{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}={{25}^{2}}-{{15}^{2}}={{20}^{2}}$ nên $AI=20~\text{cm}$ và $AB=40~\text{cm}$.
Vậy thiết diện $\text{SAB}$ có diện tích là: ${{S}_{t}}=\dfrac{1}{2}\cdot 40\cdot 25=500\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)$.
A. $500~\text{c}{{\text{m}}^{2}}$.
B. $475~\text{c}{{\text{m}}^{2}}$.
C. $450~\text{c}{{\text{m}}^{2}}$.
D. $550~\text{c}{{\text{m}}^{2}}$.
Gọi I là trung điêm của đoạn $\text{AB}$, ta có $OI\bot AB$. Từ tâm $\text{O}$ của đáy ta kẻ $OH\bot SI$ tại $\text{H}$, ta có $OH\bot (SAB)$ và do đó theo giả thiết ta có $OH=12~\text{cm}$. Xét tam giác vuông SOI
$\text{ ta c }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ : }\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{{{12}^{2}}}-\dfrac{1}{{{20}^{2}}}\Rightarrow OI=15(~\text{cm}).$
Mặt khác, xét tam giác vuông SOI ta còn có: $OS.OI=SI.OH$ $\Rightarrow SI=\dfrac{OS.OI}{OH}=\dfrac{20.15}{12}=25(~\text{cm}).$
Gọi ${{S}_{t}}$ là diện tích của thiết diện tam giác $\text{SAB}$. Ta có: ${{S}_{t}}=\dfrac{1}{2}AB.SI$, trong đó
$AB=2AI$. Vì $A{{I}^{2}}=O{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}={{25}^{2}}-{{15}^{2}}={{20}^{2}}$ nên $AI=20~\text{cm}$ và $AB=40~\text{cm}$.
Vậy thiết diện $\text{SAB}$ có diện tích là: ${{S}_{t}}=\dfrac{1}{2}\cdot 40\cdot 25=500\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)$.
Đáp án A.
