Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $2a.$ Biết diện tích tam giác ${A}'BC$ bằng $2{{a}^{2}}\sqrt{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $9\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $6\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $3\sqrt{3}{{a}^{3}}$
D. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$
Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng ${{S}_{ABC}}.A{A}'$.
Vì tam giác $ABC$ đều nên có diện tích bằng $\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{3}$.
Gọi $H$ là trung điểm cạnh $BC$. Tam giác ${A}'BC$ cân tại ${A}'$ nên ${{S}_{{A}'BC}}=\dfrac{1}{2}.BC.{A}'H=2{{a}^{2}}\sqrt{3}$.
Với $BC=2a\Rightarrow {A}'H=\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{\dfrac{1}{2}.2a}=2a\sqrt{3}$.
Xét tam giác ${A}'AH$ vuông tại $A$ có cạnh $AH=\dfrac{\left( 2a \right)\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ và ${A}'H=2a\sqrt{3}$, suy ra
$A{A}'=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=3a.$
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng: ${{a}^{2}}\sqrt{3}.3a=3{{a}^{3}}\sqrt{3}$
A. $9\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $6\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $3\sqrt{3}{{a}^{3}}$
D. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$
Vì tam giác $ABC$ đều nên có diện tích bằng $\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{3}$.
Gọi $H$ là trung điểm cạnh $BC$. Tam giác ${A}'BC$ cân tại ${A}'$ nên ${{S}_{{A}'BC}}=\dfrac{1}{2}.BC.{A}'H=2{{a}^{2}}\sqrt{3}$.
Với $BC=2a\Rightarrow {A}'H=\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{\dfrac{1}{2}.2a}=2a\sqrt{3}$.
Xét tam giác ${A}'AH$ vuông tại $A$ có cạnh $AH=\dfrac{\left( 2a \right)\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ và ${A}'H=2a\sqrt{3}$, suy ra
$A{A}'=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=3a.$
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng: ${{a}^{2}}\sqrt{3}.3a=3{{a}^{3}}\sqrt{3}$
Đáp án C.