Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x; y \right)$ thoả mãn $1\le x\le 2020$ và ${{2}^{y}}+y=2x+{{\log }_{2}}(x+{{2}^{y-1}})$ ?
A. $2020$.
B. $2021$.
C. $11$.
D. $10$.
A. $2020$.
B. $2021$.
C. $11$.
D. $10$.
Ta có: ${{2}^{y}}+y=2x+{{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)\Leftrightarrow {{2}^{y}}+{{2}^{y}}+y=2x+{{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)$
$\Leftrightarrow {{2.2}^{y}}+{{\log }_{2}}{{2}^{y}}=2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)+{{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)\ \left( * \right)\ .$
Đặt $f(t)=2t+{{\log }_{2}}t$ với $t>0$.
Ta có ${f}'(t)=2+\dfrac{1}{t\ln 2}>0,\ \forall t>0$ suy ra hàm số $y=f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Từ $\left( * \right)$ ta có $f({{2}^{y}})=f(x+{{2}^{y-1}})\Leftrightarrow {{2}^{y}}=x+{{2}^{y-1}}\Leftrightarrow x={{2}^{y-1}}.$
Vì $1\le x\le 2020$ nên $1\le {{2}^{y-1}}\le 2020\Leftrightarrow {{\log }_{2}}1\le y-1\le {{\log }_{2}}2020\Leftrightarrow 1\le y\le {{\log }_{2}}2020+1$
Theo bài $y$ nguyên dương suy ra $y\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 \right\}$.
Vậy có $11$ cặp số nguyên dương $\left( x; y \right)$ thỏa yêu cầu bài toán.
$\Leftrightarrow {{2.2}^{y}}+{{\log }_{2}}{{2}^{y}}=2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)+{{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)\ \left( * \right)\ .$
Đặt $f(t)=2t+{{\log }_{2}}t$ với $t>0$.
Ta có ${f}'(t)=2+\dfrac{1}{t\ln 2}>0,\ \forall t>0$ suy ra hàm số $y=f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Từ $\left( * \right)$ ta có $f({{2}^{y}})=f(x+{{2}^{y-1}})\Leftrightarrow {{2}^{y}}=x+{{2}^{y-1}}\Leftrightarrow x={{2}^{y-1}}.$
Vì $1\le x\le 2020$ nên $1\le {{2}^{y-1}}\le 2020\Leftrightarrow {{\log }_{2}}1\le y-1\le {{\log }_{2}}2020\Leftrightarrow 1\le y\le {{\log }_{2}}2020+1$
Theo bài $y$ nguyên dương suy ra $y\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 \right\}$.
Vậy có $11$ cặp số nguyên dương $\left( x; y \right)$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án C.