Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x,y \right)$ thoả mãn...

Ta có: ${{5}^{y+1}}+y-{{\log }_{5}}\left( x+2 \right)\le \dfrac{x-8}{5}\Leftrightarrow {{5}^{y+2}}+5y-5{{\log }_{5}}\left( x+2 \right)\le x-8$
$\Leftrightarrow {{5}^{y+2}}+5\left( y+2 \right)\le {{5}^{t}}+5t$ với $t={{\log }_{5}}\left( x+2 \right)$
$\Leftrightarrow y+2\le t$ (vì hàm số $f\left( u \right)={{5}^{u}}+5u$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ )
$\Leftrightarrow y+2\le {{\log }_{5}}\left( x+2 \right)$.
Do $x<2023\Rightarrow y+2<{{\log }_{5}}2025\Rightarrow y<2,8$ mà $y\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow y\in \left\{ 1;2 \right\}$.
- Nếu $y=1$ ta có: ${{\log }_{5}}\left( x+2 \right)\ge 3\Leftrightarrow x\ge 123$ mà $x\in {{\mathbb{Z}}^{+}}, x<2023\Rightarrow x\in \left\{ 123; 124; ...;2022 \right\}$
Trường hợp này có $1900$ cặp số nguyên dương $\left( x,y \right)$ thoả mãn.
- Nếu $y=2$ ta có: ${{\log }_{5}}\left( x+2 \right)\ge 4\Leftrightarrow x\ge 623$ mà $x\in {{\mathbb{Z}}^{+}}, x<2023\Rightarrow x\in \left\{ 623; 624; ...;2022 \right\}$
Trường hợp này có $1400$ cặp số nguyên dương $\left( x,y \right)$ thoả mãn.
Vậy có tất cả $1900+1400=3300$ cặp số nguyên dương $\left( x,y \right)$ thoả mãn.