Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thoả mãn...

Ta có: ${{3}^{x}}.\left( x+1 \right)={{27}^{y}}.y\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ {{3}^{x}}.\left( x+1 \right) \right]={{\log }_{3}}\left( {{27}^{y}}.y \right)$
$\Leftrightarrow x+{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=3y+{{\log }_{3}}y$ $\Leftrightarrow \left( x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=3y+{{\log }_{3}}y+{{\log }_{3}}3$ $\Leftrightarrow \left( x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=3y+{{\log }_{3}}\left( 3y \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$, với $t\in \left( 1; 2021 \right]$.
${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 3}>0$, $\forall t\in \left( 1; 2021 \right]$.
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ liên tục và đồng biến trên $\left( 0; 2021 \right)$.
Mà $\Leftrightarrow f\left( x+1 \right)=f\left( 3y \right)\Leftrightarrow x+1=3y$ $\Leftrightarrow x=3y-1$.
Vì $0<x\le 2020$ $\Leftrightarrow 0<3y-1\le 2020$ $\Leftrightarrow 1<3y\le 2021$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}<y\le \dfrac{2021}{3}$.
Do $y\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow y\in \left\{ 1;2;3;...; 673 \right\}$. Ứng với mỗi giá trị $y$ cho ta một $x$ nguyên dương.
Vậy có $673$ cặp $\left( x;y \right)$ thỏa yêu cầu bài toán.