Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x ; y)$ thoả mãn $0<y<2020$ và...

Ta có: ${{3}^{x}}+3x-6=9y+{{\log }_{3}}{{y}^{3}}$
$\Leftrightarrow {{3}^{x}}+3x-6=9y+3{{\log }_{3}}y$
$\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}+x-2=3y+{{\log }_{3}}y$
$\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}+x-1=3y+{{\log }_{3}}\left( 3y \right)$
$\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}+x-1={{3}^{{{\log }_{3}}\left( 3y \right)}}+{{\log }_{3}}\left( 3y \right)$. (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+t$. Ta có: ${f}'\left( t \right)=1+{{3}^{t}}.\ln 3>0, \forall t$.
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ liên tục và đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó (*) $\Leftrightarrow f\left( x-1 \right)=f\left( {{\log }_{3}}\left( 3y \right) \right)\Leftrightarrow x-1={{\log }_{3}}\left( 3y \right)\Leftrightarrow x-2={{\log }_{3}}y\Leftrightarrow y={{3}^{x-2}}$.
Vì $y\in \left( 0;2020 \right)$ nên ${{3}^{x-2}}<2020$ $\Leftrightarrow x-2<{{\log }_{3}}2020\Leftrightarrow x<2+{{\log }_{3}}2020$
Do $x;y\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ 2;3;4;5;6;7;8 \right\}$.
Ứng với mỗi giá trị nguyên của $x$ cho ta 1 giá trị nguyên của $y$.
Vậy có $7$ cặp số nguyên $(x ; y)$ thoả mãn yêu cầu bài toán.